人教版高中数学9.2 椭圆（精讲）（提升版）（解析版）.docx

9.2 椭圆（精讲）（提升版）
思维导图
考点呈现
例题剖析
考点一 椭圆定义及应用
【例1-1】（2022·日照模拟）已知曲线 ，则“ ”是“曲线C是椭圆”的(　　)
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】若曲线 表示椭圆，则 ，
故“ ”是“曲线C是椭圆”的必要不充分条件．故答案为：C．
【例1-2】（2022·江阴模拟）设是椭圆的左，右焦点，过的直接l交椭圆于A，B两点，则的最大值为（　　）
A．14 B．13 C．12 D．10
【答案】A
【解析】由椭圆的定义，知，，
所以的周长为，
所以当最小时，最大.又当时，最小，此时，所以的最大值为.故答案为：A.
【例1-3】（2021高三上·桂林月考）点P是椭圆 上的点， 、 是椭圆的左、右焦点，则△ 的周长是（　　）
A．12 B．10 C．8 D．6
【答案】B
【解析】点P是椭圆 上的点， 、 是椭圆的左、右焦点，
其中 由抛物线定义得： .
△ 的周长为 .故答案为：B.
【一隅三反】
1．（2022·江西模拟）“”是“方程表示椭圆”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分杂件
C．充要杂件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】由，可得，
当时，方程可化为，此时方程表示圆，所以充分性不成立；
反之：方程表示椭圆，则满足，即且，
所以不成立，即必要性不成立，所以“”是“方程表示椭圆”的既不充分也不必要条件.故答案为：D.
2．（2022·江西模拟）“ ， ”是“方程 表示的曲线为椭圆”的（　　）
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】[解法一]
方程 即方程 ，表示椭圆的充分必要条件是 ，
显然“ ， ”是“ ”既不充分也不必要条件，
故“ ， ”是“方程 表示的曲线为椭圆”的既不充分也不必要条件，
[解法二]
当 时，满足“ ， ”，此时题中方程可化为： ，表示的曲线是圆而不是椭圆，当 时，不满足“ ， ”，只是题中方程可化为： ，表示中心在原点，半长轴为1，半短轴为 的椭圆，
故：“ ， ”是“方程 表示的曲线为椭圆”的既不充分也不必要条件，
故答案为：D
3．（2021高三上·珠海月考）已知点 ，且 是椭圆 的左焦点， 是椭圆上任意一点，则 的最小值是（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】D
【解析】 ， 设椭圆的右焦点为 ，
，
当 在 的正上方时，等号成立.故答案为：D
考点二 椭圆的标准方程
【例2】（2021高三上·信阳开学考）已知椭圆 的左、右焦点分别是 ，焦距 ，过点 的直线与椭圆交于P、Q两点，若 ，且 ，则椭圆C的方程为(　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图， ，则 ，
延长 交椭圆C于点M，得 ，
设 ，则 ，据椭圆的定义有 ，在 中， 得 ，
又在 中， 得
故 ，则椭圆C的方程为 .故答案为：A
【一隅三反】
1．（2022·内江模拟）以椭圆 的短轴的一个端点和两焦点为顶点的三角形为等边三角形，且椭圆 上的点到左焦点的最大距离为6，则椭圆 的标准方程为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意知：短轴端点与焦点形成等边三角形，则 ，
椭圆上的点到左焦点最大距离为6，即 ，则 ， ， .
则椭圆的标准方程为： .故答案为：C.
2．（2021·全国高三专题练****阿基米德是古希腊著名的数学家､物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积，已知在平面直角坐标系中，椭圆的面积为，两焦点与短轴的一个端点构成等边三角形，则椭圆的标准方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意得，解得，
所以椭圆的标准方程是.
故选：A
3．（2021·山西长治市·高三月考（文））古希腊数学家阿波罗尼奥斯采用平面切割圆锥的方法来研究圆锥曲线，用垂直于圆锥轴的平面去截圆锥，得到的截面是圆；把平面再渐渐倾斜得到的截面是椭圆.若用周长为72的矩形ABCD截某圆锥得到椭圆τ，且τ与矩形ABCD的四边相切.设椭圆τ在平面直角坐