人教版高中数学9.3 双曲线（精讲）（提升版）（解析版）.docx

9.3 双曲线（精讲）（提升版）
思维导图
考点呈现
例题剖析
考点一 双曲线的定义及应用
【例1-1】（2022内江期末）“”是“为双曲线”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】因为方程表示双曲线，所以，
又当时，方程表示双曲线，
因此“”是“方程表示双曲线”的充要条件.故答案为：C
【例1-2】（2022·成都模拟）设，是双曲线的左，右焦点，点P在双曲线C的右支上，当时，面积为（　　）．
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵双曲线，∴，又点P在双曲线C的右支上，，
所以，，即，又，
∴面积为.故答案为：B.
【例1-3】（2022·邯郸模拟）已知､是双曲线的左､右焦点，点为双曲线右支上一点，且在以为直径的圆上，若，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设，，则.
由双曲线定义知，，又，故，
由于在以为直径的圆上，所以，故有
从而
故答案为：A
【例1-3】（2022·岳普湖模拟）已知双曲线，F1，F2是双曲线的左右两个焦点，P在双曲线上且在第一象限，圆M是△F1PF2的内切圆.则M的横坐标为　 　，若F1到圆M上点的最大距离为，则△F1PF2的面积为　 　.
【答案】1；
【解析】双曲线的方程为，则.
设圆分别与相切于 ，
根据双曲线的定义可知 ，根据内切圆的性质可知 ①，
而 ②. 由①②得： ，所以 ，
所以直线的方程为 ，即M的横坐标为1
设M的坐标为，则到圆M上点的最大距离为，
即，解得.
设直线的方程为，即.
到直线的距离为，解得 .
所以线的方程为.
由且 在第一象限，解得.
所以.
所以△F1PF2的面积为 .
故答案为：1；
【一隅三反】
1．（2022·潮州二模）若点P是双曲线上一点，，分别为的左、右焦点，则“”是“”的（　　）．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由题意可知，，，，
若，则，或1（舍去），
若，，或13，
故“”是“”的充分不必要条件．故答案为：A．
2．（2021常州期中）已知双曲线的右焦点为，为双曲线左支上一点，点，则周长的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】曲线右焦点为，周长 要使 周长最小，只需 最小，如图：
当 三点共线时取到，故l=2|AF|+2a= 故答案为：B
3．（202郫都期中）双曲线 的两个焦点为 ， ，双曲线上一点 到 的距离为11，则点 到 的距离为（　　）
A．1 B．21 C．1或21 D．2或21
【答案】B
【解析】不妨设 ， 分别为双曲线的左右焦点，
当P在双曲线的左支时，由双曲线的定义可知， ，又 =11，所以 ，当P在双曲线的右支时，由双曲线的定义可知， ，又 =11，所以 ，又 ，所以右支上不存在满足条件的点P.故答案为：B.
4(2022广东）已知，分别是双曲线的左､右焦点，若P是双曲线左支上的点，且.则的面积为（　　）
A．8 B． C．16 D．
【答案】C
【解析】因为P是双曲线左支上的点，所以，
两边平方得，
所以.
在中，由余弦定理得，
所以，所以。故答案为：C
考点二 双曲线的离心率及渐近线
【例2-1】（2022高三下·安徽期中）已知，是双曲线的左､右焦点，点P在双曲线的右支上，且，，则双曲线C的离心率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意可知，， ，
又，，即，
∴，即，∴.故答案为：C.
【例2-2】（2022·河南模拟）已知双曲线的左、右焦点分别为，，P是双曲线上一点，且（为坐标原点），若内切圆的半径为，则C的离心率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，即为，即为，可得．所以．
根据双曲线的对称性，不妨设点P在第一象限，如图所示，
由题意设的内切圆切三边分别于G，D，E三点，则，，．
又，所以．
设，则，所以，
所以切点D为双曲线的右顶点，所以，
．
在中，由勾股定理得，
整理得，即，解得，
又因为，所以C的离心率为，故答案为：C．
【例2-3】（2022·德阳三模）设双曲线的右焦点是F，左､右顶点分别是，过
作轴的垂线与双曲线交