人教版高中数学9.4 抛物线（精讲）（提升版）（解析版）.docx

9.4 抛物线（精讲）（提升版）
思维导图
考点呈现
例题剖析
考点一 抛物线定义及应用
【例1-1】（2022·广西梧州）已知抛物线上的点到该抛物线焦点的距离为，则（       ）
A．4 B．3 C． D．
【答案】D
【解析】由题意，抛物线的准线方程为，
根据抛物线的定义，可得点到焦点的距离等于到准线的距离，
可得，解得故选：D.
【例1-2】（江苏省百校联考2022-2023学年高三上学期第一次考试数学试题） 在平面直角坐标系中，设抛物线的焦点为，准线为，为抛物线上一点，过点作，交准线于点，若直线的倾斜角为，则点的纵坐标为（       ）
A． 3        B． 2        C． 1        D．
【答案】A
【解析】设准线与轴交于点，则，，∴，
连接，则，又，所以是正三角形，
∴，准线的方程是，∴点纵坐标为3.故选：A
【一隅三反】
1．（2022·云南民族大学附属中学模拟预测（理））已知点为抛物线上的动点，设点到的距离为，到直线的距离为，则的最小值是（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】直线为抛物线的准线，点到准线的距离等于点到焦点的距离，过焦点作直线的垂线，
如下图所示，此时最小，为点到直线的距离.
，则．
故选：B．
2．（2023·全国·高三专题练****已知抛物线焦点的坐标为，P为抛物线上的任意一点，，则的最小值为（       ）
A．3 B．4 C．5 D．
【答案】A
【解析】因为抛物线焦点的坐标为，所以，解得．
记抛物线的准线为l，作于，作于，则由抛物线的定义得，当且仅当P为BA与抛物线的交点时，等号成立．
故选：A.
3．（2021·江西南昌·高三阶段练****若抛物线上的点到焦点的距离比到直线的距离小1，则=（       ）
A． B． C．6 D．
【答案】D
【解析】由题可知抛物线的准线方程为，所以，即，所以，∴ ，所以.
故选：D.
考点二 直线与抛物线的位置关系
【例2-1】（2022·广东）已知抛物线的方程为，若过点的直线与抛物线有公共点，则直线的斜率的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由题意知，直线的斜率存在，设直线的方程为，
代入抛物线方程，消去并整理，得．
当时（当直线斜率存在时，需要讨论斜率是否为），显然满足题意；
当时，，
解得或．综上，，故选：A．
【例2-2】（2022·肥城市）设抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于两点，过的中点作轴的垂线与抛物线交于点，若，则直线的方程为___________.
【答案】
【解析】因为抛物线方程为，所以焦点，准线.
设，直线方程为，
代入抛物线方程消去，得，
所以.
又过的中点作准线的垂线与抛物线交于点，
设，可得，
因为，
所以，
得到，所以.
因为，所以，解之得，
所以，直线方程为，即.
故答案为：.
【一隅三反】
1．（2022·云南）过抛物线的焦点作一条直线与抛物线交于、两点，若，则这样的直线的条数为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】若直线与轴重合，则该直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意.
所以直线不与轴重合，易知抛物线的焦点为，
设直线的方程为，联立可得，
，则，
所以，，解得.
故满足条件的直线有且只有一条．
故选：B．
2（2022·广东佛山·高三阶段练****已知圆的方程为，抛物线的方程为，则两曲线的公共切线的其中一条方程为_____________．
【答案】
【解析】设切线方程为：，分别联立方程得到和，
得和，
得和，
解得和，解得或，
所以，两曲线的公共切线的其中一条方程可为：
故答案为：
3．（2022·广东高三开学考试）过点的两条直线与抛物线C：分别相切于A，B两点，则三角形PAB的面积为（ ）
A． B．3 C．27 D．
【答案】A
【解析】抛物线，即，故，
设两点的坐标为，则有，整理得，
同理
故直线的方程为，
由得，
故，
因为点到直线的距离为，
故三角形的面积为故选：.
考点三 弦长
【例3-1】（2022·全国·高三专题练****设F为抛物线的焦点，过F且倾斜角为60°的直线交C于A，B两点，则（       ）
A． B．8 C．12 D．
【答案】B
【解析】依题意可知抛物线焦点为，直线AB的方程为，
代入抛物线方程得，