人教版高中数学9.4 抛物线（精练）（提升版）（解析版）.docx

9.4 抛物线（精练）（提升版）
题组一 抛物线的定义及应用
1．（2022·广西贵港）已知点是拋物线的焦点，是上的一点，，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由抛物线的定义可知，，所以．故选：C.
2．（2022·全国·课时练****已知抛物线的焦点是，点是抛物线上的动点，若，则的最小值为______，此时点的坐标为______．
【答案】        
【解析】易知点在抛物线内部，设抛物线的准线为，则的方程为，过点作于点，则，当，即，，三点共线时，最小，最小值为，此时点的纵坐标为2，代入，得，所以此时点的坐标为．
故答案为：；．
3．（2022·江苏·南京市金陵中学河西分校高三阶段练****是抛物线上的动点，到轴的距离为，到圆上动点的距离为，则的最小值为________．
【答案】
【解析】圆的圆心为，半径，
抛物线的焦点，
因为是抛物线上的动点，到轴的距离为，到圆上动点的距离为，
所以要使最小，即到抛物线的焦点与到圆的圆心的距离最小，
连接，则的最小值为减去圆的半径，再减去抛物线焦点到原点的距离，
即，
所以的最小值为，
故答案为：
4．（2022·河南平顶山）已知抛物线，为该抛物线上一点，B为圆上的一个动点，则的最小值为___________.
【答案】3
【解析】由题意得：,抛物线焦点为，准线为，
则
,当A,F,C三点共线时取等号，
而，故的最小值为，
故答案为：3
5．（2022·全国·课时练****已知点为抛物线上的一个动点，设点到抛物线的准线的距离为，点，则的最小值为______．
【答案】
【解析】抛物线的焦点，准线方程为．
过点作抛物线准线的垂线，垂足为点，
由抛物线的定义可得，
则，
当且仅当为线段与抛物线的交点时，等号成立，
因此，的最小值为.
故答案为：.
6．（2023·全国·高三专题练****已知P为抛物线上任意一点，F为抛物线的焦点，为平面内一定点，则
的最小值为__________．
【答案】5
【解析】由题意，抛物线的准线为，焦点坐标为，过点向准线作垂线，垂足为，则，
当共线时，和最小；过点向准线作垂线，垂足为，则，所以最小值为5.故答案为：5.
题组二 直线与抛物线的位置关系
1．（2022·安徽·高三开学考试）过抛物线的焦点的直线与交于两点，若，则的倾斜角（       ）
A． B．或 C．或 D．或
【答案】D
【解析】因为焦点，设，令，
由，消可得
，，所以，
所以所以，解得：
所以的斜率为，则的倾斜角或
故选：D.
2．（2022·浙江·高三开学考试）已知为坐标原点，直线与抛物线交于两点，以为直径的圆经过，则直线恒过（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图所示：
设直线方程为：，，联立方程得，有.
，，，
故中点，即圆心C的坐标为
直径.
因为以为直径的圆经过，故有，
即，
化简得：，故直线方程为：，当时，，
即直线经过定点.
故选：D
3．（2022·全国·课时练****已知直线l过点，且与抛物线只有一个公共点，则直线l的方程可以是______．（写出一个符合题意的直线方程即可）
【答案】（答案不唯一）
【解析】由题意知直线l的斜率存在，设其方程为，
当时，，易知直线过点，且与抛物线只有一个公共点，符合题意．
当时，联立，可得，．当时，，解得或，此时直线l的方程为或，即或，
易知直线和直线都过点，且与抛物线都只有一个公共点，符合题意．
故直线l的方程可以是或或．
故答案为：（答案不唯一）
4．（2022·全国·高二单元测试）已知抛物线的焦点为，过且被抛物线截得的弦长为的直线有且仅有两条，写出一个满足条件的抛物线的方程______．
【答案】（答案不唯一，满足即可）
【解析】设直线的方程为，
且直线与抛物线交于，，联立，
可得，所以，
所以，取等号时，
所以抛物线过焦点的弦长最短为，
又因为被抛物线截得的弦长为的直线有且仅有两条，
所以，所以，取，此时抛物线方程为．
故答案为：（答案不唯一，满足即可）
5．（2022·山东）已知抛物线C的方程为，直线l过定点，若抛物线C与直线l只有一个公共点，求直线l的方程．
【答案】或或
【解析】由题意知直线l的斜率存在，设直线的斜率为k．
当时，直线l的方程为，此时直线l与抛物线的对称轴平行，显然只有一个公共点；
当时，设直线l的方程为，