人教版高中数学9.5 构造函数常见的方法（精讲）（基础版）（解析版）.docx

9.5 构造函数常见的方法（精讲）（基础版）
思维导图
考点呈现
例题剖析
考点一 直接型
【例1】（2023·全国·高三专题练****设函数是奇函数（x∈R）的导函数，f（﹣1）＝0，当x＞0时，，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0） B．（0，1）∪（1，+∞）
C．（﹣∞，﹣1）∪（0，1） D．（﹣1，0）∪（1，+∞）
【答案】D
【解析】由题意设，则
∵当x＞0时，有，∴当x＞0时，，∴函数在（0，+∞）上为增函数，
∵函数f（x）是奇函数，∴g（﹣x）＝g（x），∴函数g（x）为定义域上的偶函数，
g（x）在（﹣∞，0）上递减，由f（﹣1）＝0得，g（﹣1）＝0，
∵不等式f（x）＞0⇔x•g（x）＞0，∴或，即有x＞1或﹣1＜x＜0，
∴使得f（x）＞0成立的x的取值范围是：（﹣1，0）∪（1，+∞），故选：D．
【一隅三反】
1．（2022·陕西西安 ）已知函数的图像关于直线对称，且当时，成立，若，，，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】函数的图像关于直线对称，可知函数的图像关于直线对称，即为偶函数，构造，
当，，故在上单调递减，
且易知为奇函数，故在上单调递减，由，
所以.
故选：B.
2．（2022·河北·石家庄二中 ）已知定义域为的函数满足，且当时，则不等式的解集为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由得关于成中心对称．
令，可得
当时，则在上单调递增.
由关于成中心对称且，故在上单调递增
由，则，或
解得，或，故
故选：A
3．（2022·四川遂宁 ）已知定义在R上的函数满足：函数为奇函数，且当时，成立（为的导函数），若，，，则a、b、c的大小关系是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设，则，
因为当时，成立，所以，为递增函数，
又因为函数为奇函数，可得，
则，所以函数为偶函数，
所以函数在为单调递减函数，
由，，，
因为，所以，即.故选：B
考点二 加乘型
【例2】（2022·江苏）已知定义在上的偶函数的导函数为，当时，，且，则不等式的解集为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】当时，，
所以当时，，
令，则当时，，
故在时，单调递减，
又因为在在R上为偶函数，
所以在R上为奇函数，
故在R上单调递减，
因为，所以，
当时，可变形为，
即，
因为在R上单调递减，
所以，解得：，
与取交集，结果为；
当时，可变形为，
即，
因为在R上单调递减，
所以，解得：，
与取交集，结果为；
综上：不等式的解集为.故选：A
【一隅三反】
1．（2022·辽宁锦州）已知定义在上的函数的导函数，且，则（    ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【解析】构造函数，因为，
所以，因此函数是增函数，
于是有，
构造函数，因为，
所以，因此是单调递减函数，
于是有，
故选：D
2（2022·陕西师大附中）是定义在区间上的可导函数，其导函数为，且满足，则不等式的解集为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】构造，则，
因为定义域为，且，
所以
所以函数在上单调递增，
不等式可化为：，
即，所以有，
解得：.
即不等式的解集为：.
故选：D
3．（2021·江西·金溪一中 ）设是定义在上的函数，其导函数为，若，，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】构造函数，
所以，
又因为，所以，在上单调递增，
因为，所以，
不等式，可整理为，即，
因为函数在上单调递增，所以.故选：D.
考点三 减除型
【例3】（2022·江西省信丰中学高二阶段练****文））若定义在R上的函数的导函数为，且满足，则与的大小关系为（　　）
A．＜ B．=
C．＞ D．不能确定
【答案】C
【解析】设，则有，
又因为，所以在R上恒成立，
则函数在R上单调递增，
则，即，
即＞.故选：C.
【一隅三反】
1．（2022·全国·高三专题练****设定义在上的函数恒成立，其导函数为，若，则（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由题意，在上的函数恒成立，
构造函数，则，
∵上，即，
∴在上单调递减，而，故
∴，可得.
故选：B
2．（202