人教版高中数学10.3 椭圆（精讲）（基础版）（解析版）.docx

10.3 椭圆（精讲）（基础版）
思维导图
考点呈现
例题剖析
考点一 椭圆的定义及应用
【例1-1】（2022·日照模拟）已知曲线 ，则“ ”是“曲线C是椭圆”的(　　)
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】若曲线 表示椭圆，则 ，
故“ ”是“曲线C是椭圆”的必要不充分条件．故答案为：C．
【例1-2】（2022滁州）已知椭圆的焦点为、，P为椭圆上的一点，若，则的面积为（　　）
A．3 B．9 C． D．
【答案】C
【解析】根据椭圆的定义有，①
根据余弦定理得，②
结合①②解得，所以的面积。
故答案为：C
【例1-3】（2022·邵阳模拟）已知椭圆C：的左､右焦点分别为，，点P在椭圆C上，的周长为16，则　 　.
【答案】5
【解析】设焦距为2c，因为的周长为16，
所以 ，化简得 ①.
又 ，所以 ，
可得 ②，由①②，解得 .
故答案为：5
【一隅三反】
1．（2021湖南月考）若椭圆上一点A到焦点的距离为3，则点A到焦点的距离为（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】B
【解析】由椭圆的定义知，。 故选：B
2．（2022高三下·广东月考）设P为椭圆上一点，分别是C的左，右焦点．若，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】椭圆的长半轴长为3， 由椭圆的定义可知 ，
由 ，可得 ．故答案为：C
3．（2022洛阳月考）若方程表示椭圆，复数z满足，则复数z的共轭复数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为方程表示椭圆，所以m−2>0，10−2m>0，m−2≠10−2m，解得，
因为，所以，所以，所以，
所以，所以复数z的共轭复数为。故答案为：A．
4．（2021定州期末）设P为椭圆C：上一点，，分别为左、右焦点，且，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据P为椭圆C：上一点， 则有，
又，所以，故答案为：B.
4．（2022·江西模拟）“ ， ”是“方程 表示的曲线为椭圆”的（　　）
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】[解法一]
方程 即方程 ，表示椭圆的充分必要条件是 ，
显然“ ， ”是“ ”既不充分也不必要条件，
故“ ， ”是“方程 表示的曲线为椭圆”的既不充分也不必要条件，
[解法二]
当 时，满足“ ， ”，此时题中方程可化为： ，表示的曲线是圆而不是椭圆，当 时，不满足“ ， ”，只是题中方程可化为：
，表示中心在原点，半长轴为1，半短轴为 的椭圆，
故：“ ， ”是“方程 表示的曲线为椭圆”的既不充分也不必要条件，
故答案为：D
考点二 椭圆的离心率
【例2-1】（202深圳月考）已知 ， 是椭圆的两个焦点，过 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于 ， 两点，若 是正三角形，则这个椭圆的离心率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵ 是正三角形，∴，
∴AF1=2AF2=433c，AF1+AF2=23c=2a∴. 故答案为：B.
【例2-2】（2022延庆期末）椭圆的左右焦点分别为，是上一点， 轴，，则椭圆的离心率等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】令椭圆的半焦距为c，因是上一点， 轴，，
在中，，，
由椭圆定义知，则，所以椭圆的离心率等于.答案为：A
【一隅三反】
1．（2021昌吉期中）已知，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且，则的离心率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】在中，设，则，
又由椭圆定义可知则离心率。
故答案为：D.
2．（2022河南月考）已知椭圆：经过点，且的离心率为，则的方程是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】依题意可得，解得， 故椭圆的标准方程是。
故答案为：A.
3．（2022·湖南邵阳）椭圆方程为椭圆内有一点，以这一点为中点的弦所在的直线方程为，则椭圆的离心率为______．
【答案】
【解析】设直线与椭圆交于，则.
因为AB中点,则.又，相减得：.
所以所以
所以，所以，即离心率.故答案为：.
考点三 椭圆的标准方程
【例3】（2022石景山期末）已知椭圆