人教版高中数学10.4 双曲线（精讲）（基础版）（解析版）.docx

10.4 双曲线（精讲）（基础版）
思维导图
考点呈现
例题剖析
考点一 双曲线的定义及应用
【例1-1】（2022·潮州二模）若点P是双曲线上一点，，分别为的左、右焦点，则“”是“”的（　　）．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由题意可知，，，，
若，则，或1（舍去），
若，，或13，
故“”是“”的充分不必要条件．故答案为：A．
【例1-2】（2022·成都模拟）设，是双曲线的左，右焦点，点P在双曲线C的右支上，当时，面积为（　　）．
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵双曲线，
∴，又点P在双曲线C的右支上，，
所以，，即，
又，∴面积为.故答案为：B.
【例1-3】（2022常州期中）已知双曲线的右焦点为，为双曲线左支上一点，点，则周长的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】曲线右焦点为，周长 要使 周长最小，只需 最小，如图：
当 三点共线时取到，故l=2|AF|+2a= 故答案为：B
【例1-4】（2021河北月考）已知方程表示双曲线，则实数的取值范围为（　　）
A． B．
C．或 D．或
【答案】C
【解析】因为方程表示双曲线，
所以当，即时，，可得；
当，即时，，可得.
综上所述，实数的取值范围为或。故答案为：C
【一隅三反】
1．（2022高三上·广东开学考）“k<2”是“方程表示双曲线”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】∵方程为双曲线，∴，
∴或，∴“”是“方程为双曲线”的充分不必要条件，故答案为：A.
2．（2022·运城模拟）已知双曲线的左右焦点，，是双曲线上一点，，则（　　）
A．1或13 B．1 C．13 D．9
【答案】C
【解析】根据双曲线定义可得，又， 所以或，
又，解得，即，
又，所以.故答案为：C
3．（2022红塔月考）已知 是双曲线 的左焦点，点 ， 是双曲线右支上的动点，则 的最小值为（　　）
A．9 B．5 C．8 D．4
【答案】A
【解析】设右焦点为F'，则F'(4，0)， 依题意，有PF|=|PF'|+4，
|PF|+|PA|=|PF'|+|PA|+4≥|AF'|+4=5+4=9(当P在线段AF'上时，取等号)
故|PF|+|PA|的最小值为9.故答案为：A
4（2022广东）已知，分别是双曲线的左､右焦点，若P是双曲线左支上的点，且
.则的面积为（　　）
A．8 B． C．16 D．
【答案】C
【解析】因为P是双曲线左支上的点，所以，
两边平方得，
所以.
在中，由余弦定理得，
所以，所以。故答案为：C
考点二 双曲线的离心率及渐近线
【例2-1】（2022龙岗期中）双曲线 的渐近线方程是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 表示焦点在y轴上的双曲线，且a2=3，b2=1，则
则渐近线为，即 .故答案为为：A
【例2-2】（2022长春月考）在 中， ， .若以A，B为焦点的双曲线经过点C，则该双曲线的离心率为 (　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设双曲线的实半轴长，半焦距分别为a，c，因为 ，所以AC>BC，
因为以A，B为焦点的双曲线经过点C所以AC-BC=2a，AB=BC=2c，
在三角形ABC中由余弦定理得，即，解得AC
2=12c2，所以，所以，所以.
故选：C
【例2-3】（2022·重庆市模拟）已知双曲线C：的左右焦点分别为，，点在轴上，为等边三角形，且线段的中点恰在双曲线C上，则双曲线C的离心率为（　　）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【解析】如图所示，设 ， ，设线段 的中点为 ，则 在双曲线C的右支上，
又 为等边三角形，所以 ，所以 ，所以
连接 ，则在等边三角形 中 ，且 ，
所以 ，所以 ，即双曲线 的离心率为 .
故答案为：C.
【一隅三反】
1．（2022·湖南模拟）已知O是坐标原点，F是双曲线的右焦点，过双曲线C的右顶点且垂直于x轴的直线与双曲线C的一条渐近线交于A点，若以F为圆心的圆经过点A，O，则双曲线C的渐近线方程为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由已知，点的坐标为，故