人教版高中数学10.5 抛物线（精讲）（基础版）（解析版）.docx

10.5 抛物线（精讲）（基础版）
思维导图
考点呈现
例题剖析
考点一 抛物线的定义及应用
【例1-1】（2022·北京·高三开学考试）已知点为抛物线上的点，且点P到抛物线C的焦点F的距离为3，则____________．
【答案】2
【解析】抛物线的焦点为，准线为，
因为点为抛物线上的点，且点P到抛物线C的焦点F的距离为3，
所以，得，故答案为：2
【例1-2】（2022·广西贵港 ）已知点是拋物线的焦点，是上的一点，，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由抛物线的定义可知，，所以．故选：C.
【一隅三反】
1．（2022·河北）若点在抛物线上，为抛物线的焦点，则______．
【答案】5
【解析】由题意，知抛物线的准线方程为，点A到准线的距离为，
因为点在抛物线上，故的长度等于点A到准线的距离，
所以,故答案为：5
2．（2022·吉林）抛物线上任意一点P到点的距离最小值为___________.
【答案】
【解析】设，则，
因为，所以，当时取得最小值4，
故答案为：4
3．（2022·河南）已知抛物线的焦点是，点是抛物线上的动点，若，则的最小值为______，此时点的坐标为______．
【答案】      
【解析】易知点在抛物线内部，设抛物线的准线为，则的方程为，过点作于点，则，当，即，，三点共线时，最小，最小值为，此时点的纵坐标为2，代入，得，所以此时点的坐标为．
故答案为：；．
考点二 抛物线的标准方程
【例2-1】（2022·湖南）顶点在原点，焦点在x轴上且通径长为6的抛物线的标准方程为______．
【答案】
【解析】由抛物线的焦点在x轴上，设其方程为，
因为通径长为6，所以，所以，所以所求抛物线方程为．故答案为：．
【例2-2】（2022·全国·高三专题练****过抛物线的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若，则此抛物线方程为__________．
【答案】
【解析】
如图，作准线于，准线于，设，由抛物线定义得，，故，
在直角三角形中，因为，，所以，从而得，
设准线与x轴交于，则，所以，因此抛物线方程为.
故答案为：.
【一隅三反】
1．（2022·西藏）已知抛物线过点，则抛物线的标准方程为______．
【答案】或
【解析】∵抛物线过点，且点在第四象限，∴抛物线的开口向右或向下．
若开口向右，则设方程为，
∵过点，∴，∴抛物线的标准方程为；
若开口向下，则设方程为，
∵过点，∴，
∴抛物线的标准方程为．
综上，抛物线的标准方程为或．
2．（2022北京）已知抛物线上一点的纵坐标为，该点到准线的距离为6，则该抛物线的标准方程为______．
【答案】或
【解析】由于抛物线的准线方程是，而点到准线的距离为6，所以点的横坐标是，
于是，代入，得，解得或，
故该抛物线的标准方程为或．
故答案为：或．
3．（2022·全国·课时练****下列条件中，一定能得到抛物线的标准方程为的是______（填序号）（写出一个正确答案即可）．
①焦点在x轴上；②焦点在y轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离为3；④焦点到准线的距离为4；⑤由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为．
【答案】①③（答案不唯一）
【解析】若要得到抛物线的方程为，则焦点一定在x轴上，故①必选，②不选．
若选①③，由抛物线的定义可知，得，则抛物线的方程为．
若选①⑤，设焦点，，，，由，得，解得，故抛物线的方程为．
由④可知，故还可选择①④．
故答案可为①③或①⑤或①④．
故答案为：①③（答案不唯一）
考点三 直线与抛物线的位置关系
【例3】（2022·西安）已知抛物线的方程为，若过点的直线与抛物线有公共点，则直线
的斜率的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由题意知，直线的斜率存在，设直线的方程为，
代入抛物线方程，消去并整理，得．
当时（当直线斜率存在时，需要讨论斜率是否为），显然满足题意；
当时，，
解得或．
综上，，
故选：A．
【一隅三反】
1．（2022·黄石市）（多选）过抛物线的焦点F的直线l与抛物线C交于，两点，若，则直线l的斜率为（ ）
A． B．2 C． D．-2
【答案】BD
【解析】设直线的方程为，联立得，
所以,，，,
由题得.
因为，
所以.
满足.
故选：BD
2．（2022·贵州贵阳·高三开学考试（理））已知抛物线的焦点为是