人教版高中数学10.6 三定问题及最值（精练）（基础版）（解析版）.docx

10.6 三定问题及最值（精练）（基础版）
题组一 定点
1．（2022·烟台模拟）已知椭圆：（）的离心率为，其左､右焦点分别为，，为椭圆上任意一点，面积的最大值为1.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知，过点的直线与椭圆交于不同的两点，，直线，与轴的交点分别为，，证明：以为直径的圆过定点.
【答案】（1）（2）
【解析】（1）解：因为椭圆的离心率为，所以.
又当位于上顶点或者下顶点时，面积最大，即.
又，所以，.
所以椭圆的标准方程为
（2）解：由题知，直线的斜率存在，所以设直线的方程为，设，，
将直线代入椭圆的方程得：，
由韦达定理得：，，
直线的方程为，直线的方程为，
所以，，
所以以为直径的圆为，
整理得：.①
因为，
令①中的，可得，所以，以为直径的圆过定点.
2．（2022·莆田三模）已知椭圆的离心率为，点在椭圆C上．
（1）求椭圆C的标准方程．
（2）若直线l与椭圆C相切于点D，且与直线交于点E．试问在x轴上是否存在定点P，使得点P在以线段为直径的圆上？若存在，求出P点的坐标；若不存在．请说明理由．
【答案】（1）（2）
【解析】（1）解：由题意得，所以椭圆C的标准方程为.
（2）解：由题意，可知椭圆的切线方程的斜率一定存在，设切线方程的切点为，切线方程为，下面证明：
联立，消得，
又，则，
所以，
所以，
及直线与椭圆只有一个公共点，直线与椭圆相切，
所以椭圆上切点为的切线方程为.
切线方程与联立得，
则线段为直径的圆的方程为，
设，则，
化简整理得，由题意可知，此式恒成立，故当满足题意.此时.
故存在定点P，使得点P在以线段为直径的圆上.
3（2022·河南模拟）已知椭圆的离心率为，C的四个顶点围成的四边形面积为．
（1）求C的方程；
（2）已知点，若不过点Q的动直线l与C交于A，B两点，且，证明：l过定点．
【答案】（1）（2）
【解析】（1）解：由离心率为，得，①
C的四个顶点围成的四边形面积为．②
由①②可得，，C的方程为．
（2）解：由，得．
因为Q不在l上，所以，都不是零向量，故，
由题意可知l的斜率一定存在．
设l的方程为，，．
联立方程组得，消去y并整理得，
由，得．
所以，．
因为，
即
，
整理得，
因为，所以．
当时，满足，此时直线l的方程为，
所以直线l过定点．
题组二 定值
1．（2022·安徽模拟）点为坐标原点，过点的直线与抛物线交于，两点，且.
（1）求抛物线的方程；
（2）动点，为抛物线在第一象限内两点，且直线与直线的倾斜角互补，求证：是定值.
【答案】（1）（2）见解析
【解析】（1）解：设，，直线；
由得：，所以；
由得：，即.
解得，所以抛物线的方程为.
（2）证明：设点关于轴的对称点为，则；
因为直线与直线的倾斜角互补，所以，，三点共线，由题设得；
不妨设即为点，即为点；即，，则，
则是定值.
2．（2022·安徽三模）已知椭圆C：的离心率为，其右焦点为F，左顶点为A，点P是椭圆C上异于点A的一个动点，且当轴时，△APF的面积为．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若直线AP交直线l：于点Q，直线l与x轴交于点T，证明：．
【答案】（1）（2）见解析
【解析】（1）解：设，由题意知，所以，．
将代入椭圆方程，得，
当轴时，，解得，
所以，，椭圆C的标准方程为．
（2）证明：易得，．
设点，则，
所以直线AP的方程是，
当时，
所以点Q的坐标为．
当轴时，
可得，，，
故．
当PF与x轴不垂直时，，，
所以．
因为，所以，
所以
，
又因为，，所以，
即．
3．（2022·延庆模拟）已知椭圆的长轴长为，离心率为，其中左顶点为，右顶点为，为坐标原点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）直线与椭圆交于不同的两点，，直线，分别与直线交于点
，. 求证：为定值.
【答案】见解析
【解析】（1）解：由已知得．所以．
又因为椭圆的离心率为，所以．所以．
所以，
所以椭圆的方程为
（2）证明：由得，
设，．
因为直线与椭圆交于不同的两点，，
所以．解得，
所以，，
直线的方程为.
令得．
直线的方程为.
令得.
又因为
，
所以
4．（2022·临沂模拟）已知双曲线的左、右焦点分别为、，离心率为，为的左顶点，且．
（1）求的方程；
（2）若动直线与恰有1个公共点，且与的两条渐近线分别交于点、．求证：点与点的横