人教版高中数学大题保分练1.docx

大题保分练1
1．(2022·广东六校联考)在①b＝；②sin B＋sin C＝2sin A；③bc＝10这三个条件中任选一个补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求出△ABC的面积；若问题中的三角形不存在，请说明理由．
问题：是否存在△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且3sin(A＋B)＝csin ，a＝3，__________？
解　∵3sin(A＋B)＝csin ，a＝3，
∴asin(A＋B)＝csin ，
由正弦定理知sin Asin(A＋B)＝sin Csin ，
又A＋B＋C＝π，
∴sin Asin C＝sin Csin ＝sin Csin
＝sin Ccos ，
又sin C≠0，∴sin A＝cos ，
即2sin cos ＝cos ，而cos ≠0，
∴sin ＝，
又A∈(0，π)，故＝，
即A＝.
选①：b＝，a＝3，
由正弦定理得＝，
即＝，
解得sin B＝，又b<a，
∴B＝，则C＝.
∴△ABC的面积S＝ab＝.
选②：sin B＋sin C＝2sin A，
由正弦定理得b＋c＝6，
由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A，
即b2＋c2－bc＝9，
联立
得解得b＝c＝3，
∴△ABC的面积S＝bcsin A＝.
选③：bc＝10，
由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A，
即b2＋c2－bc＝9，
消去c，整理得b4－19b2＋100＝0，
此时Δ＝(－19)2－4×100＝－39<0，
故方程无实数根，
∴选条件③时，三角形不存在．
2．(2022·南通调研)设Sn是等比数列{an}的前n项和，a1＝1，且S1，S3，S2成等差数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求使Sn≤3an成立的n的最大值．
解　(1)设等比数列{an}的公比为q，则q≠0，
由2S3＝S1＋S2⇒2(1＋q＋q2)＝1＋1＋q
⇒2q2＋q＝0⇒q＝－，
故an＝a1qn－1＝n－1.
(2)Sn＝＝×，
则×≤3×n－1，
整理得n≤－，
当n为偶数时，n>0，不符合题意；
当n为奇数时，n＝－n，
可得n≥＝3，可得n≤3.
因此，n的最大值为3.
3．(2022·张家口模拟)已知某区A，B两所初级中学的初一年级在校学生人数之比为9∶11，该区教育局为了解双减政策的落实情况，用分层随机抽样的方法在A，B两校初一年级在校学生中共抽取了100名学生，调查了他们课下做作业的时间，并根据调查结果绘制了如图所示的频率分布直方图．
(1)在抽取的100名学生中，A，B两所学校各抽取的人数是多少？
(2)该区教育局想了解学生做作业时间的平均时长(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)和做作业时长超过3小时的学生比例，请根据频率分布直方图，估计这两个数值；
(3)另据调查，这100人中做作业时间超过3小时的人中有20人来自A中学，根据已知条件填写下面列联表，并依据小概率值α＝0.010的独立性检验，分析做作业时间超过3小时是否与学校有关．
做作业时间超过3小时
做作业时间不超过3小时
合计
A校
B校
合计
附表：
α
0.1