人教版高中数学第2讲 基本初等函数及其应用 (解析版）.docx

第2讲　基本初等函数及其应用
目录
第一部分：知识强化
第二部分：重难点题型突破
突破一：指数与对数运算
突破二：基本初等函数的图象与性质
突破三：函数的零点及其应用
角度1：确定函数零点的个数或范围
角度2：根据函数零点求参数的取值范围
突破四：函数模型应用
第三部分：冲刺重难点特训
第一部分：知识强化
1、函数的零点与方程的根之间的联系
（1）函数的零点就是方程的实数根，也就是函数的图象与轴的交点的横坐标，即方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点．
（2）函数的零点就是方程的根,即函数的图象与函数的图象交点的横坐标.
2、确定函数零点的常用方法:
①直接解方程法;②利用零点存在性定理;③数形结合,利用两个函数图象的交点求解.
第二部分：重难点题型突破
突破一：指数与对数运算
1．（2022·全国·模拟预测）已知，若，则大小关系为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】∵，
又，
∴，
∴，
又，，
所以.
故选：A.
2．（2022·吉林·抚松县第一中学一模）设，，则（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】因为，，所以，所以，
，即，所以.
故选：D．
3．（2022·云南民族大学附属中学模拟预测（理））设，，，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：，
；
，，，；
，，，，
综上，．
故选：．
4．（2022·河南安阳·模拟预测（理））已知，，，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】，，
即，所以
又，
所以，所以
又，所以
所以，所以
故选：C
5．（多选）（2022·广东汕头·二模）设a，b，c都是正数，且，则下列结论正确的是（    ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【详解】解：设，则，，，
所以
，
即，所以，所以，故D正确；
由，所以，故A正确，B错误；
因为，，
又，所以，即，故C正确；
故选：ACD
突破二：基本初等函数的图象与性质
1．（2022·天津·南开中学模拟预测）函数的图象大致为(    )
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】x≠0时，，
①x>0时，g(x)=，
当0<x<1时，g(x)单调递减，y=单调递增；
当x>1时，g(x)单调递增，y=递减；
又∵f(t)=在t≥2时单调递增，
故根据复合函数单调性可知，
当0<x<1时，单调递增，
当x>1时，单调递减；
②x<0时，g(x)=，
且当-1<x<0时，g(x)单调递减，y=单调递增；
当x<-1时，g(x)单调递增，y=递减；
又∵f(t)=在t≤-2时单调递增，
故根据复合函数单调性可知，
当-1<x<0时，单调递增，
当x<-1时，单调递减；
综上所述，
在上单调递减，在和上单调递增，
在单调递增，单调性符合的图象有AB，
当x=-1时，，当x=1时，，
∵≠，故图象A符合，B不符合．
故选：A．
2．（2022·河南·通许县第一高级中学模拟预测（文））定义：设函数的定义域为，如果，使得在上的值域为，则称函数在上为“等域函数”，若定义域为的函数（，）在定义域的某个闭区间上为“等域函数”，则的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】当时，函数在上为减函数，
若在其定义域的某个闭区间上为“等域函数”，
则存在，（）使得，
所以，消去，得，
令，则，
当时，，所以在上是单调增函数，
所以符合条件的，不存在.
当时，函数在上为增函数，
若在其定义域的某个闭区间上为“等域函数”，
则存在，（）使得，，即方程在上有两个不等实根，
即在上有两个不等实根，
设函数（），则，
当时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以在处取得极大值，也是最大值，
所以，又，，
故，即.
故选：C.
3．（2022·全国·模拟预测）某微生物科研团队为了研究某种细菌的繁殖情况，工作人员配制了一种适合该细菌繁殖的营养基质用以培养该细菌，通过相关设备以及分析计算后得到：该细菌在前3个小时的细菌数与时间（单位：小时，且）满足回归方程（其中为常数），若，且前3个小时与的部分数据如下表：
1
2
3
3个小时后，向该营养基质中加入某种细菌抑制剂，分析计算后得到细菌数与时间（单位：小时，且）满足关系式：，在时刻，该细菌数达到最大，随后细菌个数逐渐减少，则的值为（    ）
A．4