人教版高中数学第3讲 平面向量的线性运算（教师版）.docx

第三讲 平面向量的线性运算
真题展示
2022新高考一卷第三题
在中，点在边上，．记，，则　　
A． B． C． D．
【解析】
【解法一】(向量回路)：如图，
，
，即．故选：．
【解法二】 (特殊化建系)：取C为直角，并以C为原点，CA、CB所在直线分别为x，y轴建立直角坐标系，设A(3a,0),B(0,3b)，由BD=2DA知D为靠近A的三等分点，从而D(2a,b)，∴。
【试题评价】本题主要考查平面向量的线性运算，考查运算求解能力，属于基础题．
试题亮点
（1）试题考查考生对平面向量基础知识的理解与掌握，
试题解法多样，既可以利用平面向量的线性运算按部就班地推演得到答案，也可以利用三角形的几何性质直观地看出问题的答案.
（2）试题虽较为简单，但设计精巧，为不同思维水平的考生提供了发挥的空间.
（3）试题给定了两个基向量 CA，CD，由此可以唯一确定其他向量的代数表示.在高中数学教学中，教师可以引导学生研究此类问题.这种代数表示的系数实际上是仿射坐标系中的坐标，如试题中 CB=-2CA+3CD表示了 CB相对于坐标原点为C.在基向量为CA和CD的坐标系中，CB的坐标分别是-2和3.教师在指导学生研究此题时，还可以引导学生考虑其他基向量下 CB的坐标表示或者其他向量的坐标表示，以此提高学生对平面向量基本定理深刻且全面的理解．试题在考查三角形和平面向量必备知识的同时，意在引导高中数学教学对平面向量基本定理的深刻理解与把握，引导学生要对向量几何有深刻的理解和把握.
知识要点整理
　一.平面向量基本定理
1．平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
2．基底：若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．
反思感悟　平面向量基本定理的作用以及注意点
(1)根据平面向量基本定理可知，同一平面内的任何一个基底都可以表示该平面内的任意向量．用基底表示向量，实质上是利用三角形法则或平行四边形法则，进行向量的线性运算．
(2)基底的选取要灵活，必要时可以建立方程或方程组，通过方程或方程组求出要表示的向量．
二、两向量的夹角与垂直
1．夹角：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角(如图所示)．
当θ＝0时，a与b同向；当θ＝π时，a与b反向．
2．垂直：如果a与b的夹角是，则称a与b垂直，记作a⊥b.
三、　向量数量积的定义
已知两个非零向量a，b，它们的夹角为θ，我们把数量|a|·|b|cos θ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ.
规定：零向量与任一向量的数量积为0.
思考　若a≠0，且a·b＝0，是否能推出b＝0?
答案　在实数中，若a≠0，且a·b＝0，则b＝0；但是在数量积中，若a≠0，且a·b＝0，不能推出b＝0.因为其中a有可能垂直于b.
四、　投影向量
1．如图，设a，b是两个非零向量，＝a，＝b，我们考虑如下的变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，我们称上述变换为向量a向向量b的投影，叫做向量a在向量b上的投影向量．
2．如图，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则就是向量a在向量b上的投影向量．设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则与e，a，θ之间的关系为＝|a|cos θ e.
五、　平面向量数量积的性质
设向量a与b都是非零向量，它们的夹角为θ，e是与b方向相同的单位向量．则
(1)a·e＝e·a＝|a|cos θ.
(2)a⊥b⇔a·b＝0.
(3)当a∥b时，a·b＝
特别地，a·a＝|a|2或|a|＝.
(4)|a·b|≤|a||b|.
三年真题
1．已知向量，则（    ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【分析】先求得，然后求得.
【详解】因为，所以.
故选：D
2．在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：依题意如图建立平面直角坐标系，则，，，
因为，所以在以为圆心，为半径的圆上运动，
设，，
所以，，
所以
，其中，，
因为，所以，即；
故选：D
        
3．已知向量，若，则（    ）
A． B． C．5 D．6
【答案】C
【详解】解：,,即,解得,
故选：C