人教版高中数学第3章 §3.1　导数的概念及其意义、导数的运算.docx

§3.1　导数的概念及其意义、导数的运算
考试要求　1.了解导数的概念、掌握基本初等函数的导数.2.通过函数图象，理解导数的几何意义.3.能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(形如f(ax＋b))的导数．
知识梳理
1．导数的概念
(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数记作f′(x0)或.
f′(x0)＝ ＝ .
(2)函数y＝f(x)的导函数
f′(x)＝ .
2．导数的几何意义
函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，相应的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
3．基本初等函数的导数公式
基本初等函数
导函数
f(x)＝c(c为常数)
f′(x)＝0
f(x)＝xα(α∈Q，且α≠0)
f′(x)＝αxα－1
f(x)＝sin x
f′(x)＝cos_x
f(x)＝cos x
f′(x)＝－sin_x
f(x)＝ax(a>0，且a≠1)
f′(x)＝axln_a
f(x)＝ex
f′(x)＝ex
f(x)＝logax(a>0，且a≠1)
f′(x)＝
f(x)＝ln x
f′(x)＝
4.导数的运算法则
若f′(x)，g′(x)存在，则有
[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
′＝(g(x)≠0)；
[cf(x)]′＝cf′(x)．
5．复合函数的定义及其导数
复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．
常用结论
1．区分在点处的切线与过点处的切线
(1)在点处的切线，该点一定是切点，切线有且仅有一条．
(2)过点处的切线，该点不一定是切点，切线至少有一条．
2.′＝(f(x)≠0)．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率．(　×　)
(2)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．(　×　)
(3)f′(x0)＝[f(x0)]′.(　×　)
(4)若f(x)＝sin (－x)，则f′(x)＝cos (－x)．(　×　)
教材改编题
1．函数f(x)＝ex＋在x＝1处的切线方程为________．
答案　y＝(e－1)x＋2
解析　f′(x)＝ex－，
∴f′(1)＝e－1，
又f(1)＝e＋1，
∴切点为(1，e＋1)，切线斜率k＝f′(1)＝e－1，
即切线方程为y－(e＋1)＝(e－1)(x－1)，
即y＝(e－1)x＋2.
2．已知函数f(x)＝xln x＋ax2＋2，若f′(e)＝0，则a＝________.
答案　－
解析　f′(x)＝1＋ln x＋2ax，
∴f′(e)＝2ae＋2＝0，∴a＝－.
3．若f(x)＝ln(1－x)＋e1－x，则f′(x)＝________.
答案　－e1－x
题型一　导数的运算
例1　(1)(多选)(2022·济南质检)下列求导运算正确的是(　　)
A.′＝－
B．(x2ex)′＝2x＋ex
C.′＝－sin
D.′＝1＋
答案　AD
解析　′＝－·(ln x)′＝－，
故A正确；
(x2ex)′＝(x2＋2x)ex，故B错误；
′＝－2sin，故C错误；
′＝1＋，故D正确．
(2)函数f(x)的导函数为f′(x)，若f(x)＝x2＋f′sin x，则f ＝________.
答案　＋
解析　f′(x)＝2x＋f′cos x，
∴f′＝＋f′，
∴f′＝，
∴f ＝＋.
教师备选
1．函数y＝sin 2x－cos 2x的导数y′等于(　　)
A．2cos
B．cos 2x＋sin x
C．cos 2x－sin 2x
D．2cos
答案　A
解析　y′＝2cos 2x＋2sin 2x
＝2cos.
2．(2022·济南模拟)已知函数f′(x)＝exsin x＋excos x，则f(2 021)－f(0)等于(　　)
A．e2 021cos 2 021 B．e2 021sin 2 021
C. D．e
答案　B
解析　因为f′(x)＝exsin x＋excos x，
所以f(x)＝exsin x＋k(k为常数)，
所以f(2 021)－f(0)＝e2 021sin 2 021.
思维升华　(1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、