下载此文档

人教版高中数学第3章 §3.4 函数中的构造问题 培优课.docx


高中 高二 下学期 数学 人教版

1340阅读234下载16页192 KB

下载提示
  • 1.该资料是网友上传的,本站提供全文预览,预览什么样,下载就什么样。
  • 2.下载该文档所得收入归上传者、原创者。
  • 3.下载的文档,不会出现我们的网址水印。
下载所得到的文件列表
人教版高中数学第3章 §3.4 函数中的构造问题 培优课.docx
文档介绍:
§3.4 函数中的构造问题
题型一 导数型构造函数
命题点1 利用f(x)与x构造
例1 (2022·湘豫名校联考)已知定义在R上的函数f(x),其导函数为f′(x),当x>0时,f′(x)->0,若a=2f(1),b=f(2),c=4f ,则a,b,c的大小关系是(  )
A.c<b<a B.c<a<b
C.b<a<c D.a<b<c
答案 B
解析 构造函数g(x)=(x>0),
得g′(x)=
=,
由题知当x>0时,f′(x)->0,
所以g′(x)>0,故g(x)在(0,+∞)上单调递增,所以>>,
即f(2)>2f(1)>4f ,即b>a>c.
思维升华 (1)出现nf(x)+xf′(x)形式,构造函数F(x)=xnf(x);
(2)出现xf′(x)-nf(x)形式,构造函数F(x)=.
跟踪训练1 设f(x)为定义在R上的奇函数,f(-3)=0.当x>0时,xf′(x)+2f(x)>0,其中f′(x)为f(x)的导函数,则使得f(x)>0成立的x的取值范围是(  )
A.(-∞,-3)∪(0,3)
B.(-3,0)∪(3,+∞)
C.(-3,0)∪(0,3)
D.(-∞,-3)∪(3,+∞)
答案 B
解析 令g(x)=x2f(x),x∈R,
当x>0时,g′(x)=x2f′(x)+2xf(x)
=x[xf′(x)+2f(x)]>0,
即g(x)在(0,+∞)上单调递增,
因为f(x)为R上的奇函数,
即f(-x)=-f(x),
于是得g(-x)=(-x)2f(-x)=-g(x),
则g(x)是奇函数,g(x)在(-∞,0)上单调递增,
又f(-3)=0,
则g(3)=-g(-3)=-[(-3)2f(-3)]=0,
当x>0时,f(x)>0⇔g(x)>0=g(3),得x>3,
当x<0时,f(x)>0⇔g(x)>0=g(-3),
得-3<x<0,
综上,得-3<x<0或x>3,所以使f(x)>0成立的x的取值范围是(-3,0)∪(3,+∞).
命题点2 利用f(x)与ex构造
例2 (多选)已知f(x)是定义在(-∞,+∞)上的函数,导函数f′(x)满足f′(x)<f(x)对于x∈R恒成立,则(  )
A.f(2)<e2f(0) B.f(2)>e2f(0)
C.e2f(-1)>f(1) D.e2f(-1)<f(1)
答案 AC
解析 构造F(x)=,则F′(x)==,导函数f′(x)满足f′(x)<f(x),则F′(x)<0,F(x)在R上单调递减,根据单调性可知A,C选项正确.
思维升华 (1)出现f′(x)+nf(x)形式,构造函数F(x)=enxf(x);
(2)出现f′(x)-nf(x)形式,构造函数F(x)=.
跟踪训练2 若定义在R上的函数f(x)满足f′(x)+2f(x)>0,且f(0)=1,则不等式f(x)>的解集为________.
答案 (0,+∞)
解析 构造F(x)=f(x)·e2x,
∴F′(x)=f′(x)·e2x+f(x)·2e2x
=e2x[f′(x)+2f(x)]>0,
∴F(x)在R上单调递增,
且F(0)=f(0)·e0=1,
不等式f(x)>可化为f(x)e2x>1,
即F(x)>F(0),∴x>0,
∴原不等式的解集为(0,+∞).
命题点3 利用f(x)与sin x、cos x构造
例3 (多选)(2022·重庆模拟)定义在上的函数f(x),已知f′(x)是它的导函数,且恒有cos x·f′(x)+sin x·f(x)<0成立,则有(  )
A.f >f 
B.f >f 
C.f >f 
D.f >f 
答案 CD
解析 构造函数g(x)=.
则g′(x)=<0,即函数g(x)在上单调递减,
所以g>g,
所以f >f ,
同理g>g,
即f >f .
思维升华 函数f(x)与sin x,cos x相结合构造可导函数的几种常见形式
F(x)=f(x)sin x,
F′(x)=f′(x)sin x+f(x)cos x;
F(x)=,
F′(x)=;
F(x)=f(x)cos x,
F′(x)=f′(x)cos x-f(x)sin x;
F(x)=,
F′(x)=.
跟踪训练3 已知R上的奇函数f(x),其导函数为f′(x),且当x∈(0,+∞)时,f′(x)sin x+f(x)cos x<0,若a=f ,b=-f ,则a与b的大小关系为________.
答案 a<b
解析 设φ(x)=f(x)·sin x,
则φ′(x)=f′(x)sin x+f(x)cos
内容来自帮提分https://www.sfbroad.com转载请标明出处.
相关文档