人教版高中数学第4章 §4.7　正弦定理、余弦定理.docx

§4.7　正弦定理、余弦定理
考试要求　1.掌握正弦定理、余弦定理及其变形.2.能利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形度量问题．
知识梳理
1．正弦定理与余弦定理
定理
正弦定理
余弦定理
内容
＝＝＝2R
a2＝b2＋c2－2bccos A；
b2＝c2＋a2－2cacos B；
c2＝a2＋b2－2abcos C
变形
(1)a＝2Rsin A，
b＝2Rsin B，
c＝2Rsin C；
(2)asin B
＝bsin A，
bsin C＝csin B，
asin C＝csin A
cos A＝；
cos B＝；
cos C＝
2.三角形中常用的面积公式
(1)S＝aha(ha表示边a上的高)；
(2)S＝absin C＝acsin B＝bcsin A；
(3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)．
常用结论
在△ABC中，常有以下结论：
(1)∠A＋∠B＋∠C＝π.
(2)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
(3)a>b⇔A>B⇔sin A>sin B，cos A<cos B.
(4)sin(A＋B)＝sin C；cos(A＋B)＝－cos C；tan(A＋B)＝－tan C；sin ＝cos ；cos ＝sin 
.
(5)三角形中的射影定理
在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B；b＝acos C＋ccos A；c＝bcos A＋acos B.
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比．(　×　)
(2)在△ABC中，若sin A>sin B，则A>B.(　√　)
(3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素．(　×　)
(4)当b2＋c2－a2>0时，△ABC为锐角三角形．(　×　)
教材改编题
1．在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则∠BAC等于(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　因为在△ABC中，
设AB＝c＝5，AC＝b＝3，BC＝a＝7，
所以由余弦定理得
cos∠BAC＝＝＝－，
因为∠BAC为△ABC的内角，
所以∠BAC＝.
2．在△ABC中，若A＝60°，a＝4，b＝4，则B＝ .
答案　45°
解析　由正弦定理知＝，
则sin B＝＝＝.
又a>b，则A>B，所以B为锐角，故B＝45°.
3．在△ABC中，a＝2，b＝3，C＝60°，则c＝ ，△ABC的面积＝ .
答案　　
解析　易知c＝＝，
△ABC的面积等于×2×3×＝.
题型一　利用正弦定理、余弦定理解三角形
例1　(12分)(2021·新高考全国Ⅰ)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b2＝ac，点D在边AC上，BD·sin∠ABC＝asin C.
(1)证明：BD＝b;[切入点：角转化为边]
(2)若AD＝2DC，求cos∠ABC.[关键点：∠BDA和∠BDC互补]
高考改编
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bsin C＋asin A＝bsin B＋csin C.
(1)求A；
(2)设D是线段BC的中点，若c＝2，AD＝，求a.
解　(1)根据正弦定理，
由bsin C＋asin A＝bsin B＋csin C，
可得bc＋a2＝b2＋c2，
即bc＝b2＋c2－a2，
由余弦定理可得，cos A＝＝，
因为A为三角形内角，所以A＝.
(2)因为D是线段BC的中点，c＝2，AD＝，
所以∠ADB＋∠ADC＝π，
则cos∠ADB＋cos∠ADC＝0，
所以＋＝0，
即＋＝0，
整理得a2＝2b2－44，
又a2＝b2＋c2－2bccos A＝b2＋4－2b，
所以b2＋4－2b＝2b2－44，
解得b＝6或b＝－8(舍)，
因此a2＝2b2－44＝28，
所以a＝2.
思维升华　解三角形问题的技巧
(1)解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理，以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．
(2)三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断．
跟踪训练1　(2021·北京)已知在△ABC中，c＝2bcos B，C＝.
(1)求B的大小；
(2)在下列三个条件中选择一个作为