人教版高中数学4 第4讲　基本不等式　新题培优练.doc

[基础题组练]
1．若a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是(　　)
A．a2＋b2>2ab　　 B．a＋b≥2
C. ＋> D. ＋≥2
解析：选D.因为a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，所以A错误．对于B，C，当a<0，b<0时，明显错误．
对于D，因为ab>0，
所以＋≥2 ＝2.
2．下列不等式一定成立的是(　　)
A．lg>lg x(x>0)
B．sin x＋≥2(x≠kπ，k∈Z)
C．x2＋1≥2|x|(x∈R)
D.>1(x∈R)
解析：选C.对于选项A，当x>0时，x2＋－x＝≥0，所以lg≥lg x；
对于选项B，当sin x<0时显然不成立；
对于选项C，x2＋1＝|x|2＋1≥2|x|，一定成立；
对于选项D，因为x2＋1≥1，
所以0<≤1.故选C.
3．已知f(x)＝，则f(x)在上的最小值为(　　)
A. B.
C．－1 D．0
解析：选D.f(x)＝＝x＋－2≥2－2＝0，当且仅当x＝，即x＝1时取等号．又1∈，所以f(x)在上的最小值是0.
4．若实数a，b满足＋＝，则ab的最小值为(　　)
A. B．2
C．2 D．4
解析：选C.因为＋＝，所以a＞0，b＞0，
由＝＋≥2＝2，
所以ab≥2(当且仅当b＝2a时取等号)，
所以ab的最小值为2.
5．已知x>0，y>0，lg 2x＋lg 8y＝lg 2，则＋的最小值是(　　)
A．2 B．2
C．4 D．2
解析：选C.因为lg 2x＋lg 8y＝lg 2，
所以lg(2x·8y)＝lg 2，
所以2x＋3y＝2，
所以x＋3y＝1.
因为x>0，y>0，
所以＋＝(x＋3y)＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当x＝3y＝时取等号．所以＋的最小值为4.故选C.
6．若正实数x，y满足x＋y＝2，且≥M恒成立，则M的最大值为________．
解析：因为正实数x，y满足x＋y＝2，
所以xy≤＝＝1，
所以≥1；
又≥M恒成立，
所以M≤1，即M的最大值为1.
答案：1
7．已知a>0，b>0，a＋2b＝3，则＋的最小值为________．
解析：由a＋2b＝3得a＋b＝1，
所以＋＝
＝＋＋≥＋2＝.
当且仅当a＝2b＝时取等号．
答案：
8．已知正数x，y满足x＋2≤λ(x＋y)恒成立，则实数λ的最小值为________．
解析：依题意得x＋2≤x＋(x＋2y)＝2(x＋y)，即≤2(当且仅当x＝2y时取等号)，即的最大值为2.又λ≥恒成立，因此有λ≥2，即λ的最小值为2.
答案：2
9．(1)当x<时，求函数y＝x＋的最大值；
(2)设0<x<2，求函数y＝的最大值．
解：(1)y＝(2x－3)＋＋
＝－＋.
当x<时，有3－2x>0，
所以＋≥2＝4，
当且仅当＝，
即x＝－时取等号．
于是y≤－4＋＝－，
故函数的最大值为－.
(2)因为0<x<2，所以2－x>0，
所以y＝＝·≤·＝，当且仅当x＝2－x，
即x＝1时取等号，
所以当x＝1时，函数y＝的最大值为.
10．已知x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，求
(1)xy的最小值；
(2)x＋y的最小值．
解：(1)