人教版高中数学6 第6讲　利用导数研究函数的零点问题　新题培优练.doc

1．(2019·江西赣州模拟)若函数f(x)＝aex－x－2a有两个零点，则实数a的取值范围是(　　)
A.　　　　　 B.
C. D.
解析：选D.函数f(x)＝aex－x－2a的导函数f′(x)＝aex－1.当a≤0时，f′(x)≤0恒成立，函数f(x)在R上单调递减，不可能有两个零点；当a>0时，令f′(x)＝0，得x＝ln，函数f(x)在上单调递减，在上单调递增，所以f(x)的最小值为f＝1－ln－2a＝1＋ln a－2a.令g(a)＝1＋ln a－2a(a>0)，则g′(a)＝－2.当a∈时，g(a)单调递增；当a∈时，g(a)单调递减，所以g(a)max＝g＝－ln 2<0，所以f(x)的最小值为f<0，函数f(x)＝aex－x－2a有两个零点．综上所述，实数a的取值范围是(0，＋∞)，故选D.
2．已知函数f(x)＝3ln x－x2＋2x－3ln 3－.则方程f(x)＝0的解的个数是________．
解析：因为f(x)＝3ln x－x2＋2x－3ln 3－，
所以f′(x)＝－x＋2＝
＝，
当x∈(0，3)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
当x∈(3，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，
当x→0时，f(x)→－∞，当x→＋∞时，f(x)→－∞，
所以f(x)max＝f(3)＝3ln 3－＋6－3ln 3－＝0，
所以方程f(x)＝0只有一个解．
答案：1
3．(2018·高考全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝ex－ax2.
(1)若a＝1，证明：当x≥0时，f(x)≥1；
(2)若f(x)在(0，＋∞)只有一个零点，求a.
解：(1)证明：当a＝1时，f(x)≥1等价于(x2＋1)e－x－1≤0.
设函数g(x)＝(x2＋1)e－x－1，则g′(x)＝－(x2－2x＋1)e－x＝－(x－1)2e－x.
当x≠1时，g′(x)＜0，所以g(x)在(0，＋∞)单调递减．而g(0)＝0，故当x≥0时，g(x)≤0，
即f(x)≥1.
(2)设函数h(x)＝1－ax2e－x.
f(x)在(0，＋∞)只有一个零点当且仅当h(x)在(0，＋∞)只有一个零点．
(ⅰ)当a≤0时，h(x)＞0，h(x)没有零点；
(ⅱ)当a＞0时，h′(x)＝ax(x－2)e－x.当x∈(0，2)时，h′(x)＜0；当x∈(2，＋∞)时，
h′(x)＞0.
所以h(x)在(0，2)单调递减，在(2，＋∞)单调递增．
故h(2)＝1－是h(x)在[0，＋∞)的最小值．
①若h(2)＞0，即a＜，h(x)在(0，＋∞)没有零点；
②若h(2)＝0，即a＝，h(x)在(0，＋∞)只有一个零点；
③若h(2)＜0，即a＞，由于h(0)＝1，所以h(x)在(0，2)有一个零点．
由(1)知，当x＞0时，ex＞x2，所以
h(4a)＝1－＝1－＞1－＝1－＞0.
故h(x)在(2，4a)有一个零点．因此h(x)在(0，＋∞)有两个零点．
综上，f(x)在(0，＋∞)只有一个零点时，a＝.
4．(2019·南昌市第一次模拟测试)已知函数f(x)＝ex·(ln x－ax＋a＋b)(e为自然对数的底数)，a，b∈R，直线y＝x是曲线y＝f(x)在x＝1处的切线．
(1)求a，b的值．
(