人教版高中数学第4讲　直线、平面垂直的判定与性质.doc

第4讲　直线、平面垂直的判定与性质
一、知识梳理
1．直线与平面垂直的判定定理与性质定理
文字语言
图形语言
符号语言
判定
定理
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直
⇒l⊥α
性质
定理
垂直于同一个平面的两条直线平行
⇒a∥b
2.平面与平面垂直的判定定理与性质定理
文字语言
图形语言
符号语言
判定
定理
一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直
⇒α⊥β
性质
定理
两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直
⇒l⊥α
3.空间角
(1)直线与平面所成的角
①定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角，如图，∠PAO就是斜线AP与平面α所成的角．
②线面角θ的范围：θ∈．
(2)二面角
①定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱．两个半平面叫做二面角的面．
如图的二面角，可记作：二面角α­l­β或二面角P­AB­Q．
②二面角的平面角
如图，过二面角α­l­β的棱l上一点O在两个半平面内分别作BO⊥l，AO⊥l，则∠AOB就叫做二面角α­l­β的平面角．
③二面角的范围
设二面角的平面角为θ，则θ∈[0，π]．
④当θ＝时，二面角叫做直二面角．
常用结论
1．与线面垂直相关的两个常用结论：
(1)两平行线中的一条与平面垂直，则另一条也与这个平面垂直．
(2)一条直线垂直于两平行平面中的一个，则与另一个平面也垂直．
2．三种垂直关系的转化：
线线垂直线面垂直面面垂直
二、教材衍化
1．已知互相垂直的平面α，β交于直线l.若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则(　　)
A．m∥l　　　　　 B．m∥n
C．n⊥l D．m⊥n
解析：选C．由题意知，α∩β＝l，所以l⊂β，因为n⊥β，所以n⊥l.
2．在三棱锥P­ABC中，点P在平面ABC中的射影为点O.
(1)若PA＝PB＝PC，则点O是△ABC的________心；
(2)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则点O是△ABC的________心．
解析： (1)如图，连接OA，OB，OC，OP，在Rt△POA，Rt△POB 和Rt△POC中，PA＝PB＝PC，所以OA＝OB＝OC，即O为△ABC的外心．
(2)如图，延长AO，BO，CO分别交BC，AC，AB于点H，D，G.因为PC⊥PA，PB⊥PC，PA∩
PB＝P，
所以PC⊥平面PAB，又AB⊂平面PAB，所以PC⊥AB，因为AB⊥PO，PO∩PC＝P，所以AB⊥平面PGC，又CG⊂平面PGC，所以AB⊥CG，即CG为△ABC边AB上的高．同理可证BD，AH分别为△ABC边AC，BC上的高，即O为△ABC的垂心．
答案：(1)外　(2)垂
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)已知直线a，b，c，若a⊥b，b⊥c，则a∥c.(　　)
(2)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α.(　　)
(3)设m，n是两条不同的直线，α是一个平面，若m∥n，m⊥α，则n⊥α.(　　)
(4)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面．(　　)
(5)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β.(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)×
二、易错纠偏
(1)证明线面垂直时，易忽视平面内两条直线为相交直线这一条件；
(2)面面垂直的判定中找不到哪个面和哪条线垂直．
1．(2020·安徽江南十校联考)已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，下面给出的条件中一定能推出m⊥β的是(　　)
A．α⊥β且m⊂α B．m⊥n且n∥β
C．m∥n且n⊥β D．m⊥n且α∥β
解析：选C．由线线平行性质的传递性和线面垂直的判定定理，可知C正确．
2．(2020·辽宁大连第一次(3月)双基测试)已知直线l和平面α，β，且l⊂α，则“l⊥β”是“α⊥β”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选A．由面面垂直的判定定理可得，若l⊂α，l⊥β，则α⊥β，充分性成立；
若l⊥β，α⊥β，则l⊂α或l∥α，必要性不成立，
所以若l⊂α，则“l⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件，故选A．
考点一　线面垂直的判定与性质(基础型)
以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和