人教版高中数学第5节 椭圆.doc

第5节　椭　圆
考试要求　1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.掌握椭圆的定义、 几何图形、标准方程及简单几何性质.
1.椭圆的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距.
其数学表达式：集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数：
(1)若a＞c，则集合P为椭圆；
(2)若a＝c，则集合P为线段；
(3)若a＜c，则集合P为空集.
2.椭圆的标准方程和几何性质
标准方程
＋＝1(a>b>0)
＋＝1(a>b>0)
图形
性质
范围
－a≤x≤a
－b≤y≤b
－b≤x≤b
－a≤y≤a
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点
A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b，0)，B2(b，0)
轴
长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b
焦距
|F1F2|＝2c
离心率
e＝∈(0，1)
a，b，c的关系
c2＝a2－b2
1.若点P在椭圆上，F为椭圆的一个焦点，则
(1)b≤|OP|≤a；
(2)a－c≤|PF|≤a＋c.
2.焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫作焦点三角形，r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆＋＝1(a>b>0)中：
(1)当r1＝r2时，即点P的位置为短轴端点时，θ最大；
(2)S＝b2tan ＝c|y0|，当|y0|＝b时，即点P的位置为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc.
3.焦点弦(过焦点的弦)：焦点弦中通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，弦长lmin＝.
4.AB为椭圆＋＝1(a>b>0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点M(x0，y0)，则直线AB的斜率kAB＝－.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆.(　　)
(2)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆.(　　)
(3)方程mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)表示的曲线是椭圆.(　　)
(4)＋＝1(a>b>0)与＋＝1(a>b>0)的焦距相同.(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√
解析　(1)由椭圆的定义知，当该常数大于|F1F2|时，其轨迹才是椭圆，而常数等于|F1F2|时，其轨迹为线段F1F2，常数小于|F1F2|时，不存在这样的图形.
(2)因为e＝＝＝，所以e越大，则越小，椭圆就越扁.
2.(2021·重庆诊断)已知椭圆C：16x2＋4y2＝1，则下列结论正确的是(　　)
A.长轴长为 B.焦距为
C.短轴长为 D.离心率为
答案　D
解析　把椭圆方程16x2＋4y2＝1化为标准方程可得＋＝1，所以a＝，b＝，c＝，
则长轴长2a＝1，焦距2c＝，短轴长2b＝，离心率e＝＝，故选D.
3.(2021·新高考Ⅰ卷)已知F1，F2是椭圆C：＋＝1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|·|MF2|的最大值为(　　)
A.13 B.12 C.9 D.6
答案　C
解析　由椭圆C：＋＝1，得|MF1|＋|MF2|＝2×3＝6，则|MF1|·|MF2|≤＝32＝9，当且仅当|MF1|＝|MF2|＝3时等号成立.
4.(2022·广东六校联考)已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交椭圆E于A，B两点，若线段AB的中点坐标为(1，－1)，则椭圆E的方程为(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
答案　D
解析　由题意可知，椭圆E的半焦距c＝3，所以a2－b2＝9①.
因为直线AB经过点(1，－1)，F(3，0)，所以kAB＝＝.
设点A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则两式相减，
得＋＝0.
因为线段AB的中点坐标为(1，－1)，
所以x1＋x2＝2，y1＋y2＝－2，
且kAB＝＝，所以＝，即a2＝2b2②.
由①②，得b2＝9，a2＝18，所以椭圆E的方程为＋＝1.
5.(易错题)已知椭圆＋＝1(m>0)的离心率e＝，则m的值为________.
答案　3或
解析　若a2＝5，b2＝m，则c＝，
由＝，即＝，解得m＝3.
若a2＝m，b2＝5，则c＝.
由＝，即＝，解得m＝.