人教版高中数学第6讲　二项分布及其应用.doc

第6讲　二项分布及其应用
一、知识梳理
1．条件概率
(1)定义
设A，B为两个事件，且P(A)＞0，称P(B|A)＝为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率．
(2)性质
①条件概率具有一般概率的性质，即0≤P(B|A)≤1；
②如果B，C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)_．
2．事件的相互独立性
(1)定义：设A，B为两个事件，如果P(AB)＝P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立．
(2)性质：
①若事件A与B相互独立，则P(B|A)＝P(B)，
P(A|B)＝P(A)，P(AB)＝P(A)P(B)．
②如果事件A与B相互独立，那么A与，与B，与也相互独立．
3．独立重复试验与二项分布
独立重复试验
二项分布
定义
在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验
在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率是p，此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)，并称p为成功概率
计算
公式
用Ai(i＝1，2，…，n)表示第i次试验结果，则P(A1A2A3…An) ＝P(A1)P(A2)…P(An)
在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0，1，2，…，n)
常用结论
1．“二项分布”与“超几何分布”的区别
有放回抽取问题对应二项分布，不放回抽取问题对应超几何分布，当总体容量很大时，超几何分布可近似为二项分布来处理．
2．两个概率公式
(1)在事件B发生的条件下A发生的概率为P(A|B)＝.注意其与P(B|A)的不同．
(2)若事件A1，A2，…，An相互独立，则P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)．
二、教材衍化
1．天气预报，在元旦假期甲地降雨概率是0.2，乙地降雨概率是0.3.假设在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则这两地中恰有一个地方降雨的概率为________．
解析：设甲地降雨为事件A，乙地降雨为事件B，则两地恰有一地降雨为A＋B，
所以P(A＋B)＝P(A)＋P(B)
＝P(A)P()＋P()P(B)
＝0.2×0.7＋0.8×0.3
＝0.38.
答案：0.38
2．已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球，它们大小形状完全相同，现需一个红球，甲每次从中任取一个不放回，则在他第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率为________．
解析：设A＝{第一次拿到白球}，B＝{第二次拿到红球}，
则P(AB)＝×，P(A)＝，
所以P(B|A)＝＝.
答案：
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)条件概率一定不等于它的非条件概率．(　　)
(2)相互独立事件就是互斥事件．(　　)
(3)对于任意两个事件，公式P(AB)＝P(A)P(B)都成立．(　　)
(4)二项分布是一个概率分布，其公式相当于(a＋b)n二项展开式的通项公式，其中a＝p，b＝1－p.(　　)
(5)P(B|A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率，P(AB)表示事件A，B同时发生的概率．(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√
二、易错纠偏
(1)条件概率公式套用错误；
(2)相互独立事件恰有一个发生的概率的理解有误；
(3)独立重复试验公式应用错误．
1．由0，1组成的三位数编号中，若事件A表示“第二位数字为0”，事件B表示“第一位数字为0”，则P(A|B)＝________．
解析：因为第一位数字可为0或1，所以第一位数字为0的概率P(B)＝，第一位数字为0且第二位数字也为0，即事件A，B同时发生的概率P(AB)＝×＝，所以P(A|B)＝＝＝.
答案：
2．计算机毕业考试分为理论与操作两部分，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，只有两部分考试都“合格”者，才给颁发计算机“合格证书”．甲、乙两人在理论考试中“合格”的概率依次为，，在操作考试中“合格”的概率依次为，，所有考试是否合格相互之间没有影响．则甲、乙进行理论与操作两项考试后，恰有一人获得“合格证书”的概率为________．
解析：甲获得“合格证书”的概率为×＝，乙获得“合格证书”的概率是×＝，两人中恰有一个人获得“合格证书”的概率是×＋×＝.
答案：
3．设随机变量X～B，则P(X＝3)＝________．
解析：因为X～B，所以P(X＝3)＝C×＝.
答案：
考点一　条件概率(基础型)
在具体情境中，了解条件概率的概率．
核心素养：数学建模
(1)(一题多