人教版高中数学第6节 正弦定理和余弦定理.doc

第6节　正弦定理和余弦定理
考试要求　掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.
1.正、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则
定理
余弦定理
正弦定理
公式
a2＝b2＋c2－2bccos__A；
b2＝c2＋a2－2cacos__B；
c2＝a2＋b2－2abcos__C
＝＝＝2R
常见变形
cos A＝；
cos B＝；
cos C＝
(1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin__B，c＝2Rsin__C；
(2)sin A＝，sin B＝，sin C＝；
(3)a∶b∶c＝sin__A∶sin__B∶sin__C；
(4)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A
2.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：
A为锐角
A为钝角或直角
图形
关系式
a＝bsin A
bsin A<a<b
a≥b
a>b
a≤b
解的个数
一解
两解
一解
一解
无解
3.三角形常用面积公式
(1)S＝a·ha(ha表示a边上的高).
(2)S＝absin C＝acsin B＝bcsin A＝.
(3)S＝r(a＋b＋c)(r为内切圆半径).
1.三角形中的三角函数关系
(1)sin(A＋B)＝sin C；
(2)cos(A＋B)＝－cos C；
(3)sin＝cos；
(4)cos＝sin.
2.三角形中的射影定理
在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B；b＝acos C＋ccos A；c＝bcos A＋acos B.
3.在△ABC中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，A>B⇔a>b⇔sin A>sin B⇔cos A<cos B.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比.(　　)
(2)在△ABC中，若sin A>sin B，则A>B.(　　)
(3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素.(　　)
(4)当b2＋c2－a2>0时，△ABC为锐角三角形；当b2＋c2－a2＝0时，△ABC为直角三角形；当b2＋c2－a2<0时，△ABC为钝角三角形.(　　)
答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×
解析　(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角的正弦值之比.
(3)已知三角时，不可求三边.
(4)当b2＋c2－a2>0时，△ABC不一定为锐角三角形.
2.(2021·北京西城区一模)在△ABC中，C＝60°，a＋2b＝8，sin A＝6sin B，则c＝(　　)
A. B. C.6 D.5
答案　B
解析　因为sin A＝6sin B，由正弦定理可得a＝6b，又a＋2b＝8，所以a＝6，b＝1，
因为C＝60°，所以c2＝a2＋b2－2abcos C，即c2＝62＋12－2×1×6×，解得c＝.
3.(2022·全国百校大联考)在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b是方程x2－3x＋2＝0的两个实数根，且△ABC的面积为，则C的大小是(　　)
A.45° B.60°
C.60°或120° D.45°或135°
答案　D
解析　根据题意，得ab＝2，则×2×sin C＝，解得C＝45°或C＝135°.
4.(2020·全国Ⅲ卷)在△ABC中，cos C＝，AC＝4，BC＝3，则tan B＝(　　)
A. B.2 C.4 D.8
答案　C
解析　由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos C＝42＋32－2×4×3×＝9，得AB＝3，所以AB＝BC.过点B作BD⊥AC，交AC于点D，则AD＝AC＝2，BD＝＝，
所以tan ∠ABD＝＝＝，
所以tan ∠ABC＝＝4.
5.(易错题)在△ABC中，已知b＝40，c＝20，C＝60°，则此三角形的解的情况是(　　)
A.有一解 B.有两解
C.无解 D.有解但解的个数不确定
答案　C
解析　由正弦定理得＝，
∴sin B＝＝＝＞1.
∴角B不存在，即满足条件的三角形不存在.
6.(易错题)在△ABC中，角A，B，C，满足sin Acos C－sin Bcos C＝0，则三角形的形状为________.
答案　直角三角形或等腰三角形
解析　由已知得cos C(sin A－sin B)＝0，所以cos C＝0或sin A＝sin B，解得C＝90°或A＝B，所以△ABC是直角三角形或等腰三角形.