2022届高考数学一轮复习（人教版）第3章 §3.1　导数的概念及运算.docx

§3.1　导数的概念及运算
[考试要求]　1.通过实例分析，了解平均变化率、瞬时变化率．了解导数概念的实际背景.2.通过函数图象，理解导数的几何意义.3.了解利用导数定义，求基本初等函数的导数.4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.5.能求简单的复合函数(形如f(ax＋b))的导数．
1．导数的概念
(1)一般地，函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是 ＝ ，我们称它为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或，即f′(x0)＝ ＝ .
(2)如果函数y＝f(x)在开区间(a，b)内的每一点处都有导数，其导数值在(a，b)内构成一个新函数，这个函数称为函数y＝f(x)在开区间(a，b)内的导函数．简称导数，记作f′(x)或y′.
2．导数的几何意义
函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，
相应的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
3．基本初等函数的导数公式
基本初等函数
导函数
f(x)＝c(c为常数)
f′(x)＝0
f(x)＝xα(α∈Q，α≠0)
f′(x)＝αxα－1
f(x)＝sin x
f′(x)＝cos x
f(x)＝cos x
f′(x)＝－sin x
f(x)＝ax(a>0且a≠1)
f′(x)＝axln a
f(x)＝ex
f′(x)＝ex
f(x)＝logax(a>0且a≠1)
f′(x)＝
f(x)＝ln x
f′(x)＝
4.导数的运算法则
若f′(x)，g′(x)存在，则有
[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
′＝(g(x)≠0)；
[cf(x)]′＝cf′(x)．
5．复合函数的定义及其导数
(1)一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)与u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))．
(2)复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．
微思考
1．根据f′(x)的几何意义思考一下，随着|f′(x)|增大，曲线f(x)的形状有何变化？
提示　|f′(x)|越大，曲线f(x)的形状越来越陡峭．
2．函数f(x)在点P处的切线与函数f(x)过点P的切线有什么区别？
提示　在点P处的切线，点P一定是切点；过点P的切线，点P不一定是切点．
题组一　思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．(　 ×　)
(2)f′(x0)＝[f(x0)]′.(　×　)
(3)f(x)在某点处的切线与f(x)过某点处的切线意义相同．(　×　)
(4)若f(x)＝2x，则f′(x)＝x·2x－1.(　×　)
题组二　教材改编
2．某跳水运动员离开跳板后， 他达到的高度与时间的函数关系式是h(t)＝10－4.9t2＋8t(距离单位：米，时间单位：秒)，则他在0.5秒时的瞬时速度为(　　)
A．9.1米/秒 B．6.75米/秒
C．3.1米/秒 D．2.75米/秒
答案　C
解析　h′(t)＝－9.8t＋8，
∴h′(0.5)＝－9.8×0.5＋8＝3.1.
3．已知函数f(x)＝xln x＋ax2＋2，若f′(e)＝0，则a＝ .
答案　－
解析　f′(x)＝1＋ln x＋2ax，
∴f′(e)＝2ae＋2＝0，∴a＝－.
4．函数f(x)＝ex＋在x＝1处的切线方程为 ．
答案　y＝(e－1)x＋2
解析　f′(x)＝ex－，
∴f′(1)＝e－1，
又f(1)＝e＋1，
∴切点为(1，e＋1)，切线斜率k＝f′(1)＝e－1，
即切线方程为y－(e＋1)＝(e－1)(x－1)，
即y＝(e－1)x＋2.
题组三　易错自纠
5．已知函数f(x)＝xcos x＋asin x在x＝0处的切线与直线3x－y＋1＝0平行，则实数a的值为 ．
答案　2
解析　f′(x)＝cos x＋x·(－sin x)＋acos x
＝(1＋a)cos x－xsin x，
∴f′(0)＝1＋a＝3，
∴a＝2.
6．已知函数f(x)＝ln(3－2x)＋e2x－3，则f′(x)＝ .
答案　＋2e2x－3
解析　f′(x)＝·(