2022届高考数学一轮复习（人教版）第5章 §5.1　平面向量的概念及线性运算.docx

§5.1　平面向量的概念及线性运算
考试要求　1.通过对力、速度、位移等的分析，了解平面向量的实际背景，理解平面向量的意义和两个向量相等的含义.2.理解平面向量的几何表示和基本要素.3.借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量加、减运算及运算规则，理解其几何意义.4.通过实例分析，掌握平面向量数乘运算及运算规则，理解其几何意义，理解两个平面向量共线的含义.5.了解平面向量的线性运算性质及其几何意义．
1．向量的有关概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．
(2)零向量：长度为0的向量，记作0.
(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量．
(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任意向量平行．
(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．
(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．
2．向量的线性运算
向量运算
定义
法则(或几何意义)
运算律
加法
求两个向量和的运算
交换律：a＋b＝b＋a；结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
减法
求两个向量差的运算
a－b＝a＋(－b)
数乘
求实数λ与向量a的积的运算
|λ a|＝|λ||a|，当λ>0时，λa与a的方向相同；
当λ<0时，λa与a的方向相反；
当λ＝0时，λa＝0
λ(μ a)＝(λμ)a；
(λ＋μ)a＝λa＋μa；
λ(a＋b)＝λa＋λb
3.向量共线定理
向量b与非零向量a共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.
微思考
1．三角形加法法则的推论是什么？
提示　一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即＋＋＋…＋An－1An＝，特别地， 一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量．
2．中点公式的向量形式是什么？
提示　中点公式的向量形式：若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则＝(＋)．
题组一　思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量．(　×　)
(2)若两个向量共线，则其方向必定相同或相反．(　×　)
(3)若向量与向量是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上．(　×　)
(4)当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之亦成立．(　√　)
题组二　教材改编
2．(多选)下列命题中，正确的是(　　)
A.若a与b都是单位向量，则a＝b
B．直角坐标平面上的x轴、y轴都是向量
C．若用有向线段表示的向量与不相等，则点M与N不重合
D．海拔、温度、角度都不是向量
答案　CD
解析　A错误，由于单位向量长度相等，但是方向不确定；B错误，由于只有方向，没有大小，故x轴，y轴不是向量；C正确，由于向量起点相同，但长度不相等，所以终点不同；D正确，海拔、温度、角度只有大小，没有方向，故不是向量．
3．设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则＋＋＋等于(　　)
A. B．2 C．3 D．4
答案　D
解析　＋＋＋＝(＋)＋(＋)＝2＋2＝4.
4．已知▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O，且＝a，＝b，则＝________，＝________.(用a，b表示)
答案　b－a　－a－b
解析　如图，＝＝－＝b－a，＝－＝－－＝－a－b.
题组三　易错自纠
5．对于非零向量a，b，“a＋2b＝0”是“a∥b”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案　A
解析　若a＋2b＝0，则a＝－2b，所以a∥b.
若a∥b，则a＋2b＝0不一定成立，
故前者是后者的充分不必要条件．
6．(多选)下列四个命题中，错误的是(　　)
A．若a∥b，则a＝b
B．若|a|＝|b|，则a＝b
C．若|a|＝|b|，则a∥b
D．若a＝b，则|a|＝|b|
答案　ABC
题型一 平面向量的概念
1．(多选)给出下列命题，其中叙述错误的命题为(　　)
A．向量的长度与向量的长度相等
B．向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反
C．|a|＋|b|＝|a－b|⇔a与b方向相反
D．若非零向量a与非零向量b的方向相同或相反，则a＋b与a，b之一的方向相同
答案　BCD
解析　对于A，向量与向量，长度相等，方向相反，命题成立；对于B，当a＝0时，不成立；对于C，当a，b之一为零向量时，不成立；对于D，当a＋b＝0时，a＋b的方向是任意的，它可以与a，b的方向都不相