2022届高考数学一轮复习（人教版）第5章 §5.4　复　数.docx

§5.4　复　数
考试要求　1.通过方程的解，认识复数.2.结合复数的代数表示及其几何意义，考查复数的实部、虚部，共轭复数，复数的模等概念的认识.3.结合复数的运算法则，考查复数的加、减、乘、除运算．
1．复数的有关概念
(1)定义：我们把集合C＝{a＋bi|a，b∈R}中的数，即形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部(i为虚数单位)．
(2)分类：
满足条件(a，b为实数)
复数的分类
a＋bi为实数⇔b＝0
a＋bi为虚数⇔b≠0
a＋bi为纯虚数⇔a＝0且b≠0
(3)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．(4)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．
(5)模：向量的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作|a＋bi|或|z|，即|z|＝|a＋bi|＝(a，b∈R)．
2．复数的几何意义
复数z＝a＋bi与复平面内的点Z(a，b)及平面向量＝(a，b)(a，b∈R)是一一对应关系．
3．复数的运算
(1)运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R.
(2)几何意义：复数加、减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行．
如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加、减法的几何意义，即＝＋
，＝－.
微思考
1．复数a＋bi的实部为a，虚部为b吗？
提示　不一定．只有当a，b∈R时，a才是实部，b才是虚部．
2．i的乘方具有周期性吗？
提示　in＝(k∈Z)．
题组一　思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)方程x2＋x＋1＝0没有解．(　×　)
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为bi.(　×　)
(3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．(　×　)
(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模．(　√　)
题组二　教材改编
2．若复数z＝(x2－1)＋(x－1)i为纯虚数，则实数x的值为(　　)
A．－1 B．0 C．1 D．－1或1
答案　A
解析　∵z为纯虚数，∴∴x＝－1.
3．在复平面内，向量对应的复数是2＋i，向量对应的复数是－1－3i，则向量对应的复数是(　　)
A．1－2i B．－1＋2i C．3＋4i D．－3－4i
答案　D
解析　＝＋＝－1－3i＋(－2－i)＝－3－4i.
4．若复数z满足z＝1－i(i是虚数单位)，则复数z的共轭复数等于(　　)
A．－－i B．－＋i
C．－－i D．－＋i
答案　D
解析　由题意可得z＝＝＝，
所以＝－＋i，故选D.
题组三　易错自纠
5．已知a＋bi(a，b∈R)是的共轭复数，则a＋b等于(　　)
A．－1 B．－ C. D．1
答案　D
解析　由＝＝－i，
得a＋bi＝i，由复数相等得a＝0，b＝1，
从而a＋b＝1.
6．i为虚数单位，若复数(1＋mi)(i＋2)是纯虚数，则实数m等于________．
答案　2
解析　因为(1＋mi)(i＋2)＝2－m＋(1＋2m)i是纯虚数，所以2－m＝0，且1＋2m≠0，解得m＝2.
题型一 复数的概念
1．(2020·全国Ⅲ)若(1＋i)＝1－i，则z等于(　　)
A．1－i B．1＋i C．－i D．i
答案　D
解析　因为＝＝＝－i，所以z＝i.
2．(2020·全国Ⅰ)若z＝1＋i，则|z2－2z|等于(　　)
A．0 B．1 C. D．2
答案　D
解析　方法一　z2－2z＝(1＋i)2－2(1＋i)＝－2，
|z2－2z|＝|－2|＝2.
方法二　|z2－2z|＝|(1＋i)2－2(1＋i)|
＝|(1＋i)(－1＋i)|＝|1＋i|·|－1＋i|＝2.
3．已知i为虚数单位，则复数z＝的虚部为(　　)
A．i B．2 C．－1 D．－i
答案　C
解析　因为＝＝＝2－i，所以z的虚部为－1.
4．(2020·郑州质检)若复数(a∈R)的实部和虚部相等，则实数a的值为(　　)
A．1 B．－1 C. D．－
答案　C
解析　因为＝＝＋i，所以由题意，得＝，解得a＝.
思维升华 解决复数概念问题的方法及注意事项
(1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．
(2)解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)