2022届高考数学一轮复习（人教版）第6章 强化训练6　数列中的综合问题.docx

强化训练6　数列中的综合问题
1．(2020·东三省四市模拟)等比数列{an}中，a5，a7是函数f(x)＝x2－4x＋3的两个零点，则a3·a9等于(　　)
A．－3 B．3 C．－4 D．4
答案　B
解析　∵a5，a7是函数f(x)＝x2－4x＋3的两个零点，∴a5，a7是方程x2－4x＋3＝0的两个根，∴a5·a7＝3，由等比数列的性质可得a3·a9＝a5·a7＝3.
2．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为－2，且a7是a3与a9的等比中项，则S10的值为(　　)
A．－110 B．－90 C．90 D．110
答案　D
解析　∵a7是a3与a9的等比中项，
∴a＝a3a9，
又数列{an}的公差为－2，
∴(a1－12)2＝(a1－4)(a1－16)，解得a1＝20，
∴an＝20＋(n－1)×(－2)＝22－2n，
∴S10＝＝5×(20＋2)＝110.
3．若等差数列{an}的公差d≠0且a1，a3，a7成等比数列，则等于(　　)
A. B. C. D．2
答案　A
解析　设等差数列的首项为a1，公差为d，
则a3＝a1＋2d，a7＝a1＋6d.
因为a1，a3，a7成等比数列，
所以(a1＋2d)2＝a1(a1＋6d)，
解得a1＝2d.所以＝＝.
4．某病毒研究所为了更好地研究“新冠”病毒，计划改建十个实验室，每个实验室的改建费用分为装修费和设备费，每个实验室的装修费都一样，设备费从第一到第十实验室依次构成等比数列，已知第五实验室比第二实验室的改建费用高42万元，第七实验室比第四实验室的改建费用高168万元，并要求每个实验室改建费用不能超过1 700万元．则该研究所改建这十个实验室投入的总费用最多需要(　　)
A．3 233万元 B．4 706万元
C．4 709万元 D．4 808万元
答案　C
解析　设每个实验室的装修费用为x万元，设备费为an万元(n＝1,2,3，…，10)，
则所以
解得故a10＝a1q9＝1 536.
依题意x＋1 536≤1 700，即x≤164.
所以总费用为10x＋a1＋a2＋…＋a10＝10x＋＝10x＋3 069≤4 709.
5．(2021·重庆模拟)某食品加工厂2019年获利20万元，经调整食品结构，开发新产品，计划从2020年开始每年比上一年获利增加20%，则从(　　)年开始这家加工厂年获利超过60万元，已知lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1(　　)
A．2024年 B．2025年
C．2026年 D．2027年
答案　C
解析　由题意，设从2019年开始，第n年的获利为an(n∈N*)万元，
则数列{an}为等比数列，其中2019年的获利为首项，即a1＝20.
2020年的获利为a2＝20·(1＋20%)＝20×(万元)，
2021年的获利为a3＝20×(1＋20%)2＝20·2(万元)，
∴数列{an}的通项公式为an＝20·n－1(n∈N*)，
由题意可得an＝20·n－1>60，即n－1>3，
∴n－1>＝＝＝＝≈≈6.031 6>6，
∴n≥8，
∴从2026年开始这家加工厂年获利超过60万元．
6．(多选)已知数列{a