2022届高考数学一轮复习（人教版）第7章 §7.1　空间几何体及其表面积、体积.docx

§7.1　空间几何体及其表面积、体积
考试要求　1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.2.能用斜二测画法画出简单空间图形的直观图.3.了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式．
1．多面体的结构特征
名称
棱柱
棱锥
棱台
图形
含义
①有两个面互相平行且全等，其余各面都是平行四边形.
②每相邻两个四边形的公共边都互相平行
有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形的多面体
用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分
侧棱
平行且相等
相交于一点但不一定相等
延长线交于一点
侧面形状
平行四边形
三角形
梯形
2.旋转体的结构特征
名称
圆柱
圆锥
圆台
球
图形
母线
互相平行且相等，垂直于底面
相交于一点
延长线交于一点
轴截面
全等的矩形
全等的等腰三角形
全等的等腰梯形
圆面
侧面展开图
矩形
扇形
扇环
3.直观图
斜二测画法：(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中x′轴、y′轴的夹角为45°或135°，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直．
(2)原图形中平行于坐标轴的线段在直观图中仍平行于坐标轴，平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段在直观图中长度为原来的一半．
4．多面体的表面积、侧面积
因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和．
5．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
圆柱
圆锥
圆台
侧面展开图
侧面积公式
S圆柱侧＝2πrl
S圆锥侧＝πrl
S圆台侧＝π(r1＋r2)l
6.柱、锥、台、球的表面积和体积
名称
几何体
表面积
体积
柱体(棱柱和圆柱)
S表面积＝S侧＋2S底
V＝Sh
锥体(棱锥和圆锥)
S表面积＝S侧＋S底
V＝Sh
台体(棱台和圆台)
S表面积＝S侧＋S上＋S下
V＝(S上＋S下＋)h
球
S＝4πR2
V＝πR3
微思考
1．如何求旋转体的表面积？
提示　求旋转体的侧面积时需要将曲面展开为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面积之和．
2．柱体、锥体、台体体积之间有什么关系？
提示　
题组一　思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱．(　×　)
(2)用一个平行于底面的平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．(　√　)
(3)棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形．(　×　)
(4)在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线．(　×　)
题组二　教材改编
2．如图，长方体ABCD－A′B′C′D′被截去一部分，其中EH∥A′D′，剩下的几何体是(　　)
A．棱台 B．四棱柱 C．五棱柱 D．六棱柱
答案　C
3.母线长为5的圆锥的侧面展开图的圆心角等于π，则该圆锥的体积为________．
答案　16π
解析　由题意知，侧面展开图的弧长为5×π＝8π，
设圆锥底面圆的半径为r，
则8π＝2πr，
∴r＝4，∴圆锥高h＝＝3，
∴体积为×π×42×3＝16π.
4．一个长方体的顶点都在球面上，且长方体的棱长分别为1,2,3，则球的表面积为_____．
答案　14π
解析　设球的半径为R，则2R＝＝，则R＝.
∴S＝4πR2＝4π×＝14π.
题组三　易错自纠
5．用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是(　　)
答案　A
解析　由直观图可知，在直观图中多边形为正方形，对角线长为，所以原图形为平行四边形，位于y轴上的对角线长为2.
6．下面图形都是由六个全等的小正方形组成，其中可以折成正方体的是(　　)
答案　C
题型一 空间几何体
命题点1　直观图
例1 已知等腰梯形ABCD，上底CD＝1，腰AD＝CB＝，下底AB＝3，以下底所在直线为x轴，则由斜二测画法画出的直观图A′B′C′D′的面积为________．
答案　
解析　如图所示，作出等腰梯形ABCD的直观图．
因为OE＝＝1，所以O′E′＝，E′F＝，
则直观图A′B′C′D′的面积S′＝×＝.
命题点2　展开图
例2 (2020·浙江)已知圆锥的侧面积(单位：cm2)为2π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆