2022届高考数学一轮复习（人教版）第7章 §7.4　直线、平面垂直的判定与性质.docx

§7.4　直线、平面垂直的判定与性质
考试要求　1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理.2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题．
1．直线与平面垂直
(1)定义：一般地，如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直．
(2)直线与平面垂直的判定定理与性质定理：
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直
⇒l⊥α
性质定理
垂直于同一个平面的两条直线平行
⇒a∥b
2.平面与平面垂直
(1)定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．
(2)平面与平面垂直的判定定理与性质定理：
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直
⇒α⊥β
性质定理
两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直
⇒l⊥α
3.空间角
(1)直线和平面所成的角
①定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角．
②范围：.
(2)二面角
①定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．
②二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．
③二面角的平面角的范围：[0，π]．
微思考
1．若平面α⊥β，且α∩β＝l，若直线m⊥l，则m与平面β一定垂直吗？
提示　不一定，当m⊂α时，m⊥β.
2．空间中任一直线m，在平面α内是否存在无数条直线与m垂直？
提示　存在．
题组一　思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)垂直于同一个平面的两个平面平行．(　×　)
(2)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α.(　×　)
(3)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β.(　×　)
(4)过平面外一点有且只有一条直线垂直于这个平面．(　√　)
题组二　教材改编
2．下列命题中错误的是(　　)
A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β
B．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β
C．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ
D．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β
答案　D
解析　对于D，若平面α⊥平面β，则平面α内的直线可能不垂直于平面β，即与平面β的关系还可以是斜交、平行或在平面β内，其他选项均是正确的．
3．设α，β为两个不同的平面，直线l⊂α，则“l⊥β”是“α⊥β”成立的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案　A
解析　依题意，由l⊥β，l⊂α，可以推出α⊥β；反过来，由α⊥β，l⊂α不能推出l⊥β，因此“l⊥β”是“α⊥β”成立的充分不必要条件，故选A.
4.如图，已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD，则图中互相垂直的平面有________对．
答案　3
解析　∵AB⊥平面BCD，AB⊂平面ABD，AB⊂平面ABC，
∴平面ABD⊥平面BCD，平面ABC⊥平面BCD.
又AB⊥CD，BC⊥CD，AB∩BC＝B，
∴CD⊥平面ABC.
又CD⊂平面ACD，
∴平面ACD⊥平面ABC.
题组三　易错自纠
5．“直线a与平面α内的无数条直线都垂直”是“直线a与平面α垂直”的______条件．
答案　必要不充分
6．在三棱锥P－ABC中，点P在平面ABC上的射影为点O.
(1)若PA＝PB＝PC，则点O是△ABC的________心；
(2)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则点O是△ABC的________心．
答案　(1)外　(2)垂
解析　(1)如图1，连接OA，OB，OC，OP，
在Rt△POA，Rt△POB和Rt△POC中，PA＝PC＝PB，
所以OA＝OB＝OC，
即O为△ABC的外心．
(2)如图2，延长AO，BO，CO分别交BC，AC，AB于点H，D，G.
∵PC⊥PA，PB⊥PC，PA∩PB＝P，PA，PB⊂平面PAB，
∴PC⊥平面PAB，又AB⊂平面PAB，
∴PC⊥AB，
∵AB⊥PO，PO∩PC＝P，PO，PC⊂平面PGC，
∴AB⊥平面PGC，又CG⊂平面PGC，
∴AB⊥