2022届高考数学一轮复习（人教版）第8章 §8.5 第1课时　椭圆及其性质.docx

§8.5　椭　圆
考试要求　1.了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质．
1．椭圆的定义
(1)定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹．
(2)焦点：两个定点F1，F2.
(3)焦距：两焦点间的距离|F1F2|；半焦距：焦距的一半．
2．椭圆的简单几何性质
焦点的位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
图形
标准方程
＋＝1 (a>b>0)
＋＝1 (a>b>0)
范围
－a≤x≤a且－b≤y≤b
－b≤x≤b且－a≤y≤a
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)
B1(－b,0)，B2(b,0)
轴长
短轴长为2b，长轴长为2a
焦点
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距
|F1F2|＝2c
对称性
对称轴：x轴和y轴，对称中心：原点
离心率
e＝(0<e<1)
a，b，c的关系
a2＝b2＋c2
微思考
1．在椭圆的定义中，若2a＝|F1F2|或2a<|F1F2|，动点P的轨迹如何？
提示　当2a＝|F1F2|时，动点P的轨迹是线段F1F2；当2a<|F1F2|时动点P的轨迹是不存在的．
2．椭圆的离心率的大小与椭圆的扁平程度有怎样的关系？
提示　由e＝＝知，当a不变时，e越大，b越小，椭圆越扁平；e越小，b越大，椭圆越接近于圆．
3．焦点弦的弦长最短是什么？
提示　焦点弦中通径(垂直于轴的焦点弦)最短，弦长为.
题组一　思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．(　×　)
(2)椭圆是轴对称图形，也是中心对称图形．(　√　)
(3)椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成△PF1F2的周长为2a＋2c(其中a为椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦距)．(　√　)
(4)＋＝1(a>b>0)与＋＝1(a>b>0)的焦距相等．(　√　)
题组二　教材改编
2．已知F1(－3,0)，F2(3,0)，若点P到F1，F2的距离之和为10，则P点的轨迹方程是
____________．
答案　＋＝1
解析　因为|PF1|＋|PF2|＝10>|F1F2|＝6，所以点P的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，其中a＝5，c＝3，b＝＝4，故点P的轨迹方程为＋＝1.
3．若椭圆＋＝1的焦距为4，则m＝________.
答案　4或8
解析　当焦点在x轴上时，10－m>m－2>0，
10－m－(m－2)＝4，∴m＝4.
当焦点在y轴上时，m－2>10－m>0，m－2－(10－m)＝4，∴m＝8.∴m＝4或8.
4．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为.过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么椭圆C的方程为________．
答案　＋＝1
解析　如图，设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，
由椭圆的定义可知，|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF2|＝2a，又△ABF2的周长为16，
所以|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝16，
即4a＝16，a＝4，又e＝＝，
则c＝2，b＝＝2，
故椭圆C的方程为＋＝1.
5．已知点P是椭圆＋＝1上y轴右侧的一点，且以点P及焦点F1，F2为顶点的三角形的面积等于1，则点P的坐标为__________________．
答案　或
解析　设P(x，y)，由题意知c2＝a2－b2＝5－4＝1，
所以c＝1，则F1(－1,0)，F2(1,0)．
由题意可得点P到x轴的距离为1，
所以y＝±1，把y＝±1代入＋＝1，
得x＝±，又x>0，所以x＝，
所以点P的坐标为或.
题组三　易错自纠
6．若方程＋＝1表示椭圆，则m满足的条件是____________________．
答案　
解析　由方程＋＝1表示椭圆，
知解得m>且m≠1.
7．已知椭圆＋＝1(m>0)的离心率e＝，则m的值为________．
答案　3或
解析　若a2＝5，b2＝m，则c＝，
由＝，即＝，解得m＝3.
若a2＝m，b2＝5，
则c＝.
由＝，即＝，
解得m＝.
综上，m＝3或.
8．已知点A(－2,0)，B(0,1)在椭圆C：＋＝1(a>b>0)上，则椭圆C的方程为________；若直线y＝x