2022届高考数学一轮复习（人教版）第8章 §8.6　双曲线.docx

§8.6　双曲线
考试要求　1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，以及它们的简单几何性质.2.通过圆锥曲线与方程的学****进一步体会数形结合的思想．
1．双曲线的定义
(1)定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹．
(2)符号表示：||MF1|－|MF2||＝2a(常数)(0<2a<|F1F2|)．
(3)焦点：两个定点F1，F2.
(4)焦距：两焦点间的距离，表示为|F1F2|.
2．双曲线的标准方程和简单几何性质
标准方程
－＝1(a>0，b>0)
－＝1(a>0，b>0)
图形
性质
焦点
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距
|F1F2|＝2c
范围
x≤－a或x≥a，y∈R
y≤－a或y≥a，x∈R
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
轴
实轴：线段A1A2，长：2a；虚轴：线段B1B2，长：2b，实半轴长：a，虚半轴长：b
离心率
e＝∈(1，＋∞)
渐近线
y＝±x
y＝±x
a，b，c的关系
c2＝a2＋b2 (c>a>0，c>b>0)
微思考
1．平面内与两定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数2a的动点的轨迹一定为双曲线吗？为什么？
提示　不一定．当2a＝|F1F2|时，动点的轨迹是两条射线；
当2a>|F1F2|时，动点的轨迹不存在；
当2a＝0时，动点的轨迹是线段F1F2的中垂线．
2．已知双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，如何求其他具有共同渐近线的双曲线方程？
提示　可设方程为－＝λ(λ≠0)．
题组一　思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)方程－＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线．(　×　)
(2)双曲线－＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是±＝0.(　√　)
(3)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.(　√　)
(4)若双曲线－＝1(a>0，b>0)与－＝1(a>0，b>0)的离心率分别是e1，e2，则＋＝1.(　√　)
题组二　教材改编
2．若双曲线－＝1(a>0，b>0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为(　　)
A. B．5 C. D．2
答案　A
解析　由题意知焦点到其渐近线的距离等于实轴长，双曲线的渐近线方程为±＝0，即bx±ay＝0，
∴2a＝＝b.又a2＋b2＝c2，∴5a2＝c2.
∴e2＝＝5，∴e＝.
3．(2021·阜阳模拟)已知双曲线－＝1的一条渐近线经过点，则该双曲线的离心率为(　　)
A．2 B. C．3 D.
答案　A
解析　双曲线－＝1的一条渐近线为y＝x过第一象限，所以点在渐近线y
＝x上，可得＝×，所以＝，
所以e＝＝＝＝＝2.
4．经过点A(4,1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为________．
答案　－＝1
解析　设双曲线的方程为－＝±1(a>0)，
把点A(4,1)代入，得a2＝15(舍负)，
故所求方程为－＝1.
题组三　易错自纠
5．(多选)(2020·辽宁六校协作体月考)若方程＋＝1所表示的曲线为C，则下面四个命题中错误的是(　　)
A．若C为椭圆，则1<t<3
B．若C为双曲线，则t>3或t<1
C．曲线C可能是圆
D．若C为椭圆，且长轴在y轴上，则1<t<2
答案　AD
解析　若t>3，则方程可变形为－＝1，它表示焦点在y轴上的双曲线；若t<1，则方程可变形为－＝1，它表示焦点在x轴上的双曲线；
若2<t<3，则0<3－t<t－1，故方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆；若1<t<2，则0<t－1<3－t，故方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆；
若t＝2，则方程＋＝1即为x2＋y2＝1，它表示圆，综上，选AD.
6．(2020·哈尔滨师范大学青冈实验中学模拟)双曲线－＝1上一点P到焦点F1(－5,0)的距离为7，则点P到焦点F2(5,0)的距离为________．
答案　13
解析　在双曲线－＝1中，a＝3，由题意得|PF1|＝7，
由双曲线的定义可得||PF1|－|PF2||＝2a＝6，
即|7－|PF2||＝6，
解得|PF2|＝13或|PF2|＝1，
又|PF2|≥c－a＝2，
所以|PF2|＝13.
题型一 双曲线的定义及应用
例1 (1)(2021·滨州质检)－＝4表示的曲线方程为(　　)
A.－＝1(x≤－2) B.－＝1(x≥2)