2022届高考数学一轮复习（人教版）第8章 §8.7　抛物线.docx

§8.7　抛物线
考试要求　1.了解抛物线的定义、几何图形和标准方程，以及它们的简单几何性质.2.通过圆锥曲线与方程的学****进一步体会数形结合的思想．
1．抛物线的概念
(1)定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹．
(2)焦点：点F叫做抛物线的焦点．
(3)准线：直线l叫做抛物线的准线．
2．抛物线的标准方程和简单几何性质
标准方程
y2＝2px(p>0)
y2＝－2px(p>0)
x2＝2py(p>0)
x2＝－2py(p>0)
图形
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
焦点
准线方程
x＝－
x＝
y＝－
y＝
对称轴
x轴
y轴
顶点
(0,0)
离心率
e＝1
微思考
1．抛物线定义中，若l经过点F，则点的轨迹会怎样？
提示　若l经过点F，则到F与到l距离相等的点的轨迹是过点F且与l垂直的直线．
2．怎样计算抛物线的焦半径(抛物线上的点到焦点的距离)？抛物线的焦点弦的最小值是多少？
提示　抛物线y2＝2px(p>0)上一点P(x0，y0)到焦点的距离(焦半径)为x0＋；抛物线的焦点弦的最小值是2p(通径的长度)．
题组一　思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．(　×　)
(2)方程y＝ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是，准线方程是x＝－.(　×　)
(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．(　×　)
(4)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切．(　×　)
题组二　教材改编
2．过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则|PQ|等于(　　)
A．9 B．8 C．7 D．6
答案　B
解析　抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.根据题意可得，|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝8.
3．抛物线y2＝8x上到其焦点F距离为5的点的个数为______．
答案　2
解析　设P(x1，y1)，则|PF|＝x1＋2＝5，得x1＝3，y1＝±2.故满足条件的点的个数为2.
4．已知A(2,0)，B为抛物线y2＝x上一点，则|AB|的最小值为________．
答案　
解析　设点B(x，y)，则x＝y2≥0，
所以|AB|＝＝＝＝.
所以当x＝时，|AB|取得最小值，且|AB|min＝.
题组三　易错自纠
5．(多选)顶点在原点，对称轴为坐标轴且过点P(－2,3)的抛物线的标准方程是(　　)
A．y2＝x B．x2＝y
C．y2＝－x D．x2＝－y
答案　BC
解析　设抛物线的标准方程是y2＝kx或x2＝my，代入点P(－2，3)，解得k＝－，m＝，
所以y2＝－x或x2＝y.
6．设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是______．
答案　[－1,1]
解析　Q(－2,0)，当直线l的斜率不存在时，不满足题意，故设直线l的方程为y＝k(x＋2)，代入抛物线方程，消去y整理得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，
由Δ＝(4k2－8)2－4k2·4k2＝64(1－k2)≥0，
解得－1≤k≤1.
题型一 抛物线的定义和标准方程
1．(2020·全国Ⅰ)已知A为抛物线C：y2＝2px(p>0)上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p等于(　　)
A．2 B．3 C．6 D．9
答案　C
解析　设A(x，y)，由抛物线的定义知，点A到准线的距离为12，即x＋＝12.
又因为点A到y轴的距离为9，即x＝9，
所以9＋＝12，
解得p＝6.
2．设抛物线y2＝2px的焦点在直线2x＋3y－8＝0上，则该抛物线的准线方程为(　　)
A．x＝－4 B．x＝－3
C．x＝－2 D．x＝－1
答案　A
解析　直线2x＋3y－8＝0与x轴的交点为(4,0)，∴抛物线y2＝2px的焦点为(4,0)，∴准线方程为x＝－4.
3．动圆过点(1,0)，且与直线x＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为__________．
答案　y2＝4x
解析　设动圆的圆心坐标为(x，y)，则圆心到点(1,0)的距离与到直线x＝－1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y