2022届高考数学一轮复习（人教版）第8章 高考专题突破五 第1课时　范围与最值问题.docx

高考专题突破五　高考中的圆锥曲线问题
第1课时　范围与最值问题
题型一 范围问题
例1 已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，直线x＋y－1＝0被以椭圆C的短轴为直径的圆截得的弦长为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点M(4,0)的直线l交椭圆于A，B两个不同的点，且λ＝|MA|·|MB|，求λ的取值范围．
解　(1)因为原点到直线x＋y－1＝0的距离为.
所以2＋2＝b2(b>0)，解得b＝1.
又e2＝＝1－＝，得a＝2.
所以椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)当直线l的斜率为0时，λ＝|MA|·|MB|＝12.
当直线l的斜率不为0时，设直线l：x＝my＋4，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立方程得(m2＋4)y2＋8my＋12＝0.
由Δ＝64m2－48(m2＋4)>0，得m2>12，
所以y1y2＝.
λ＝|MA|·|MB|＝|y1|·|y2|＝(m2＋1)·|y1y2|＝＝12.
由m2>12，得0<<，所以<λ<12.
故λ的取值范围是.
思维升华 解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面
(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围．
(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系.
(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围．
(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围．
(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．
跟踪训练1 (2020·山东新高考联合考试)已知A，B是x轴正半轴上两点(A在B的左侧)，且|AB|＝a(a>0)，过A，B分别作x轴的垂线，与抛物线y2＝2px(p>0)在第一象限分别交于D，C两点．
(1)若a＝p，点A与抛物线y2＝2px的焦点重合，求直线CD的斜率；
(2)若O为坐标原点，记△OCD的面积为S1，梯形ABCD的面积为S2，求的取值范围．
解　(1)由题意知A，
则B，D，则C，
又a＝p，所以kCD＝＝－1.
(2)设直线CD的方程为y＝kx＋b(k≠0)，C(x1，y1)，D(x2，y2)，
由得ky2－2py＋2pb＝0，
所以Δ＝4p2－8pkb>0，得kb<，
又y1＋y2＝，y1y2＝，
由y1＋y2＝>0，y1y2＝>0，
可知k>0，b>0，
因为|CD|＝|x1－x2|＝a，
点O到直线CD的距离d＝，
所以S1＝·a·＝ab.
又S2＝(y1＋y2)·|x1－x2|＝··a＝，
所以＝，
因为0<kb<，所以0<<.
即的取值范围为.
题型二 最值问题
命题点1　几何法求最值
例2 (2020·新高考全国Ⅱ)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点M(2,3)，点A为其左顶点，且AM的斜率为.
(1)求C的方程；
(2)点N为椭圆上任意一点，求△AMN的面积的最大值．
解　(1)由题意可知直线AM的方程为y－3＝(x－2)，
即x－2y＝－4.
当y＝0时，解得x＝－4，
所以a＝4.
由椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点M(2,3)，
可得＋＝1，解得b2＝12.
所以