2024年高考数学一轮复习（人教版） 第4章　§4.4　简单的三角恒等变换.docx

§4.4　简单的三角恒等变换
考试要求　能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式推导二倍角的正弦、余弦、正切公式，并进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆)．
知识梳理
1．二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)公式S2α：sin 2α＝2sin αcos α.
(2)公式C2α：cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.
(3)公式T2α：tan 2α＝.
2．常用的部分三角公式
(1)1－cos α＝2sin2,1＋cos α＝2cos2.(升幂公式)
(2)1±sin α＝2.(升幂公式)
(3)sin2α＝，cos2α＝，tan2α＝.(降幂公式)
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)半角的正弦、余弦公式实质就是将倍角的余弦公式逆求而得来的．(　√　)
(2)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.(　√　)
(3)cos2＝.(　√　)
(4)tan ＝＝.(　√　)
教材改编题
1．(2021·全国乙卷)cos2－cos2等于(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　方法一　(公式法)因为cos ＝sin＝sin ，所以cos2－cos2＝cos2－sin2＝cos＝cos ＝.
方法二　(代值法)因为cos ＝，cos ＝，
所以cos2－cos2＝2－2＝.
2．若角α满足sin α＋2cos α＝0，则tan 2α等于(　　)
A．－ B. C．－ D.
答案　D
解析　由题意知，tan α＝－2，所以tan 2α＝＝.
3．若α为第二象限角，sin α＝，则sin 2α等于(　　)
A．－ B．－ C. D.
答案　A
解析　因为α为第二象限角，sin α＝，
所以cos α＝－＝－＝－，
所以sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝－.
题型一　三角函数式的化简
例1　(1)(2021·全国甲卷)若α∈，tan 2α＝，则tan α等于(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　方法一　因为tan 2α＝＝，
且tan 2α＝，
所以＝，解得sin α＝.
因为α∈，
所以cos α＝，tan α＝＝.
方法二　因为tan 2α＝＝＝＝，且tan 2α＝，所以＝，解得sin α＝.
因为α∈，
所以cos α＝，tan α＝＝.
(2)已知sin α＋cos α＝，则sin2＝________.
答案　
解析　因为sin α＋cos α＝，
两边同时平方得sin2α＋2sin αcos α＋cos2α＝，
即sin 2α＝，
由降幂公式可知sin2＝＝＝－sin 2α＝.
思维升华　(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则：
一看角，二看名，三看式子结构与特征．
(2)三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的联系点．
跟踪训练1　(1)若f(α)＝2tan α－，则f 的值是________．
答案　6－
解析　依题意，f(α)＝2tan α－
＝2tan α＋，
而tan ＝tan＝＝＝2－，
于是得f ＝2(2－)＋＝6－，
所以f 的值是6－.
(2)化简：·＝________.
答案　
解析　·
＝·
＝·
＝·＝.
题型二　三角函数式的求值
命题点1　给角求值
例2　计算：(1)sin 10°·sin 30°·sin 50°·sin 70°；
(2)－；
(3).
解　(1)原式＝cos 20°·cos 40°·cos 80°
＝＝＝.
(2)原式＝＝＝＝2.
(3)原式＝＝＝＝
＝＝－2.
命题点2　给值求值
例3　(2023·长春质检)已知sin＋cos α＝，则sin等于(　　)
A. B. C．－ D．－
答案　D
解析　∵sin＋cos α＝，
∴sin αcos －cos αsin ＋cos α＝，
∴sin α－cos α＋cos α＝，
∴sin α＋cos α＝，
∴cos＝，
∴sin＝sin
＝cos 2
＝2cos2－1
＝2×2－1
＝－.
命题点3　给值求角
例4　已知 sin α＝，cos β＝，且α，β为锐角，则α＋2β＝ .
答案　
解析　因为sin α＝，且α为锐角，所以cos α＝＝＝，
因为cos β＝，且β为锐角，所以sin β＝＝＝，
那么sin 2β＝2sin βcos β＝2××＝，
cos 2β＝1－