2024年高考数学一轮复习（人教版） 第4章　§4.7　三角函数中有关ω的范围问题[培优课].docx

§4.7　三角函数中有关ω的范围问题
在三角函数的图象与性质中，ω的求解是近几年高考的一个热点内容，但因其求法复杂，涉及的知识点多，历来是我们复****中的难点．
题型一　三角函数的单调性与ω的关系
例1　已知函数f(x)＝sin(ω>0)在区间上单调递增，则ω的取值范围为(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　方法一　由题意得
则又ω>0，所以
所以k＝0，则0<ω≤.
方法二　取ω＝1，则f(x)＝sin，令＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，k∈Z，得＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z，当k＝0时，函数f(x)在区间上单调递减，与函数f(x)在区间上单调递增矛盾，故ω≠1，结合四个选项可知选B.
思维升华　确定函数的单调区间，根据区间之间的包含关系，建立不等式，即可求ω的取值范围．
跟踪训练1　(2023·宜昌模拟)已知函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)，ω>0，若f ＝3，f(π)＝0，f(x)在上单调递减，那么ω的取值共有(　　)
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
答案　D
解析　∵f ＝3，f(π)＝0，
∴π－＝·T(n∈N*)，
T＝，
∵f(x)在上单调递减，
∴≥－＝，∴T≥，
即≥，∴2n－1≤10，
∴n＝1,2,3,4,5，
即周期T有5个不同取值，
∴ω的取值共有5个．
题型二　三角函数的对称性与ω的关系
例2　(多选)(2023·大同质检)将函数f(x)＝sin(ω>0)的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，若F(x)＝f(x)g(x)的图象关于点对称，则ω可取的值为(　　)
A. B. C．1 D．4
答案　CD
解析　将函数f(x)的图象向右平移个单位长度，得到函数g(x)＝sin
＝sin＝cos，
又因为F(x)＝f(x)g(x)的图象关于点对称，
所以F(x)＝sincos
＝sin的图象关于点对称，
则2ω·＋＝kπ，k∈Z，所以ω＝，k∈Z，
又因为ω>0，所以ω的最小值为1，故ω可取的值为1,4.
思维升华　三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为，相邻的对称轴和对称中心之间的“水平间隔”为，这就说明，我们可根据三角函数的对称性来研究其周期性，解决问题的关键在于运用整体代换的思想，建立关于ω的不等式组，进而可以研究“ω”的取值范围．
跟踪训练2　已知函数f(x)＝2sin，若f(x)的图象的任何一条对称轴与x轴交点的横坐标均不属于区间(3π，4π)，则ω的取值范围是(　　)
A.∪ B.∪
C.∪ D.∪
答案　C
解析　因为f(x)的图象的任何一条对称轴与x轴交点的横坐标均不属于区间(3π，4π)，所以×≥4π－3π，所以<ω≤1，故排除A，B；
又kπ＋≤3ωπ－，且kπ＋π＋≥4ωπ－，解得≤ω≤，k∈Z，
当k＝0时，≤ω≤，不满足<ω≤1，
当k＝1时，≤ω≤，符合题意，
当k＝2时，≤ω≤，符合题意，
当k＝3时，≤ω≤，此时ω不存在，故C正确，D不正确．
题型三　三角函数的最值与ω的关系
例3　将函数f(x)＝sin(2ωx＋φ)(ω>0，φ∈[0,2π])图象上每点的横坐标变为原来的2倍，得到函数g(x)，函数g(x)的部分图象如图所示，且g(x)在[0,2π]上恰有一个最大值和一个最小值(其中最大值为1，最小值为－1)，则ω的取值范围是(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　由已知得函数g(x)＝sin(ωx＋φ)，由g(x)图象过点以及点在图象上的位置，
知sin φ＝，φ＝，∵0≤x≤2π，
∴≤ωx＋≤2πω＋，
由g(x)在[0,2π]上恰有一个最大值和一个最小值，
∴≤2πω＋<，
∴≤ω<.
思维升华　利用三角函数的最值与对称轴或周期的关系，可以列出关于ω的不等式(组)，进而求出ω的值或取值范围．
跟踪训练3　(2023·青岛质检)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，其中ω>0，|φ|≤，－为f(x)的零点，且f(x)≤恒成立，f(x)在区间上有最小值无最大值，则ω的最大值是(　　)
A．11 B．13 C．15 D．17
答案　C
解析　由题意，直线x＝是f(x)的一条对称轴，
所以f ＝±1，即ω＋φ＝k1π＋，k1∈Z，①
又f ＝0，所以－ω＋φ＝k2π，k2∈Z，②
由①②，得ω＝2(k1－k2)＋1，k1，k2∈Z，
又f(x)在区间上有最小值无最大值，
所以T≥－＝，
即≥，解得ω≤16.
综上，先检验ω＝15，
当ω＝15时，由①得×15＋φ＝k1π＋，k1∈Z，即φ＝k1π－，k1∈Z，又|φ|≤，