2024年高考数学一轮复习（人教版） 第4章　§4.8　正弦定理、余弦定理.docx

§4.8　正弦定理、余弦定理
考试要求　1.掌握正弦定理、余弦定理及其变形.2.理解三角形的面积公式并能应用.3.能利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形度量问题．
知识梳理
1．正弦定理、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则
定理
正弦定理
余弦定理
内容
＝＝＝2R
a2＝b2＋c2－2bccos A；
b2＝c2＋a2－2cacos B；
c2＝a2＋b2－2abcos C
变形
(1)a＝2Rsin A，
b＝2Rsin B，
c＝2Rsin C；
(2)sin A＝，
sin B＝，sin C＝；
(3)a∶b∶c
＝sin A∶sin B∶sin C
cos A＝；
cos B＝；
cos C＝
2．三角形解的判断
A为锐角
A为钝角或直角
图形
关系式
a＝bsin A
bsin A< a<b
a≥b
a>b
解的个数
一解
两解
一解
一解
3．三角形中常用的面积公式
(1)S＝aha(ha表示边a上的高)；
(2)S＝absin C＝acsin B＝bcsin A；
(3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)．
常用结论
在△ABC中，常有以下结论：
(1)∠A＋∠B＋∠C＝π.
(2)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
(3)a>b⇔A>B⇔sin A>sin B，cos A<cos B.
(4)sin(A＋B)＝sin C；cos(A＋B)＝－cos C；tan(A＋B)＝－tan C；sin ＝cos ；cos ＝sin .
(5)三角形中的射影定理
在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B；b＝acos C＋ccos A；c＝bcos A＋acos B.
(6)三角形中的面积S＝.
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比．(　×　)
(2)在△ABC中，若sin A>sin B，则A>B.(　√　)
(3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素．(　×　)
(4)当b2＋c2－a2>0时，△ABC为锐角三角形．(　×　)
教材改编题
1．在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则∠BAC等于(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　在△ABC中，
设AB＝c＝5，AC＝b＝3，BC＝a＝7，
由余弦定理得cos∠BAC＝＝＝－，
因为∠BAC为△ABC的内角，
所以∠BAC＝.
2．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为4，a＝2，B＝30°，
则c等于(　　)
A．8 B．4
C． D．
答案　A
解析　由S△ABC＝acsin B＝×2c×＝4，得c＝8.
3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B＝30°，b＝，c＝2，则C＝ .
答案　45°或135°
解析　由正弦定理得sin C＝＝＝，
因为c>b，B＝30°，
所以C＝45°或C＝135°.
题型一　利用正弦定理、余弦定理解三角形
例1　(12分)(2022·新高考全国Ⅰ)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝.
(1)若C＝，求B；[切入点：二倍角公式化简]
(2)求的最小值．[关键点：找到角B与角C，A的关系]
思维升华　解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式，则考虑用正弦定理，以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．
跟踪训练1　(2022·全国乙卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin Csin(A－B)＝sin Bsin(C－A)．
(1)证明：2a2＝b2＋c2；
(2)若a＝5，cos A＝，求△ABC的周长．
(1)证明　方法一　
由sin Csin(A－B)＝sin Bsin(C－A)，
可得sin Csin Acos B－sin Ccos Asin B
＝sin Bsin Ccos A－sin Bcos Csin A，
结合正弦定理＝＝，
可得accos B－bccos A＝bccos A－abcos C，
即accos B＋abcos C＝2bccos A(*)．
由余弦定理可得
accos B＝，
abcos C＝，
2bccos A＝b2＋c2－a2，
将上述三式代入(*)式整理，
得2a2＝b2＋c2.
方