2024年高考数学一轮复习（人教版） 第5章　§5.1　平面向量的概念及线性运算.docx

§5.1　平面向量的概念及线性运算
考试要求　1.理解平面向量的意义、几何表示及向量相等的含义.2.掌握向量的加法、减法运算，并理解其几何意义及向量共线的含义.3.了解向量线性运算的性质及其几何意义．
知识梳理
1．向量的有关概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小称为向量的长度(或模)．
(2)零向量：长度为0的向量，记作0．
(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量．
(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫做共线向量，规定：零向量与任意向量平行．
(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．
(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．
2．向量的线性运算
向量运算
法则(或几何意义)
运算律
加法
交换律：a＋b＝b＋a；
结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
减法
a－b＝a＋(－b)
数乘
|λa|＝|λ||a|，当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；
λ(μa)＝(λμ)a；
(λ＋μ)a＝λa＋μa；
当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；
当λ＝0时，λa＝0
λ(a＋b)＝λa＋λb
3.向量共线定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa.
常用结论
1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即＋＋＋…＋＝，特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量．
2．若F为线段AB的中点，O为平面内任意一点，则＝(＋)．
3．若A，B，C是平面内不共线的三点，则＋＋＝0⇔P为△ABC的重心，＝(＋)．
4．对于任意两个向量a，b，都有||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)|a|与|b|是否相等，与a，b的方向无关．(　√　)
(2)若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b.(　×　)
(3)若向量与向量是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上．(　×　)
(4)起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量．(　√　)
教材改编题
1．(多选)下列命题正确的是(　　)
A．零向量是唯一没有方向的向量
B．零向量的长度等于0
C．若a，b都为非零向量，则使＋＝0成立的条件是a与b反向共线
D．若a＝b，b＝c，则a＝c
答案　BCD
解析　A项，零向量是有方向的，其方向是任意的，故A错误；
B项，由零向量的定义知，零向量的长度为0，故B正确；
C项，因为与都是单位向量，所以只有当与是相反向量，即a与b是反向共线时才成立，故
C正确；
D项，由向量相等的定义知D正确．
2．下列各式化简结果正确的是(　　)
A.＋＝
B.＋＋＋＝
C.＋－＝0
D.－－＝
答案　B
3．已知a与b是两个不共线的向量，且向量a＋λb与－(b－3a)共线，则λ＝________.
答案　－
解析　由题意知存在k∈R，
使得a＋λb＝k[－(b－3a)]，
所以解得
题型一　平面向量的基本概念
例1　(1)(多选)下列说法中正确的是(　　)
A．单位向量都相等
B．任一向量与它的相反向量不相等
C．若|a|＝|b|，则a与b的长度相等，与方向无关
D．若a与b是相反向量，则|a|＝|b|
答案　CD
解析　对于A，单位向量方向不同时并不相等，A错误；
对于B，0的相反向量为0，B错误；
对于C，|a|＝|b|，则a与b的长度相等，与方向无关，C正确；
对于D，相反向量是长度相等，方向相反的向量，D正确．
(2)(2023·福州模拟)如图，在正△ABC中，D，E，F均为所在边的中点，则以下向量和相等的是(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　∵，，与方向不同，∴，，与均不相等；
∵与方向相同，长度相等，∴＝.
思维升华　平行向量有关概念的四个关注点
(1)非零向量的平行具有传递性．
(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．
(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．
(4)是与a同方向的单位向量．
跟踪训练1　(1)(多选)下列命题中正确的是(　　)
A．向量的长度与向量的长度相等
B．向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反
C．两个有共同起点且相等的向量，其终点必相同
D．两个终点相同的向量，一定是共线向量
答案　AC
解析　对于A，向量与向量的长度相等，方向相反，故A正确；
对于B，向量a与b平行，且a或b为零向量时，不满足条件，故B错误；
对于C，两个有共同起点且相等的向量，其终点也相同，故C正确；