2024年高考数学一轮复习（人教版） 第5章　§5.3　平面向量的数量积.docx

§5.3　平面向量的数量积
考试要求　1.理解平面向量数量积的含义及其几何意义.2.了解平面向量的数量积与投影向量的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题．
知识梳理
1．向量的夹角
已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角．
2．平面向量的数量积
已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cos θ叫做向量a与b的数量积，记作a·b.
3．平面向量数量积的几何意义
设a，b是两个非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，＝a，＝b，过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，我们称上述变换为向量a向向量b投影，叫做向量a在向量b上的投影向量．记为|a|cos θ e.
4．向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a.
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
5．平面向量数量积的有关结论
已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.
几何表示
坐标表示
数量积
a·b＝|a||b|cos θ
a·b＝x1x2＋y1y2
模
|a|＝
|a|＝
夹角
cos θ＝
cos θ＝
a⊥b的充要条件
a·b＝0
x1x2＋y1y2＝0
|a·b|与|a||b|的关系
|a·b|≤|a||b|
|x1x2＋y1y2|≤
常用结论
1．平面向量数量积运算的常用公式
(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；
(2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.
2．有关向量夹角的两个结论
(1)若a与b的夹角为锐角，则a·b>0；若a·b>0，则a与b的夹角为锐角或0.
(2)若a与b的夹角为钝角，则a·b<0；若a·b<0，则a与b的夹角为钝角或π.
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)两个向量的夹角的范围是.(　×　)
(2)若a，b共线，则a·b＝|a|·|b|.(　×　)
(3)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的结果是向量．(　√　)
(4)若a·b＝a·c，则b＝c.(　×　)
教材改编题
1．已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝，且a与b的夹角为30°，那么a·b等于(　　)
A．1 B. C．3 D．3
答案　C
解析　由题意可得a·b＝|a|·|b|cos 30°＝2××＝3.
2．已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝________.
答案　2
3．若向量a＝(1,2)，b＝(－3,4)，则a·b的值等于________；a与b夹角的余弦值等于________．
答案　5　
解析　因为a＝(1,2)，b＝(－3,4)，
所以a·b＝－3×1＋2×4＝5，|a|＝＝，|b|＝＝5，
所以cos〈a，b〉＝＝＝.
题型一　平面向量数量积的基本运算
例1　(1)(2023·广州模拟)在平面四边形ABCD中，已知＝，P为CD上一点，＝3，||＝4，||＝3，与的夹角为θ，且cos θ＝，则·等于(　　)
A．8 B．－8 C．2 D．－2
答案　D
解析　如图所示，
∵＝，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∵＝3，
∴＝＋＝＋，
＝－＝－，
又∵||＝4，||＝3，cos θ＝，
则·＝4×3×＝8，
∴·＝·
＝·－2＋2
＝×8－9＋×42＝－2.
(2)(2023·六安模拟)在等边△ABC中，AB＝6，＝3，＝2，则·＝________.
答案　22
解析　如图，以BC所在直线为x轴，BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，
∵AB＝6，＝3，＝2，
∴B(－3,0)，C(3,0)，
M(－2，－3)，
∴＝(－1,3)，
＝(5,3)，
∴·＝－5＋27＝22.
思维升华　计算平面向量数量积的主要方法
(1)利用定义：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
(2)利用坐标运算，若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.
(3)利用基底法求数量积．
(4)灵活运用平面向量数量积的几何意义．
跟踪训练1　(1)(2022·岳阳模拟)已知正方形ABCD的对角线AC＝2，点P在另一条对角线BD上，则·的值为(　　)
A．－2 B．2 C．1 D．4
答案