2024年高考数学一轮复习（人教版） 第5章　§5.4　平面向量的综合应用[培优课].docx

§5.4　平面向量的综合应用
题型一　平面向量在几何中的应用
例1　(1)如图，在△ABC中，cos∠BAC＝，点D在线段BC上，且BD＝3DC，AD＝，则△ABC的面积的最大值为________．
答案　
解析　设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，因为BD＝3DC，＝＋，
又AD＝，cos∠BAC＝，
所以2＝2＝c2＋b2＋bccos∠BAC
＝c2＋b2＋bc，
又＝c2＋b2＋bc＝2＋2＋bc≥2×c×b＋bc＝bc，
当且仅当c＝3b时，等号成立．
所以bc≤8，又sin∠BAC＝，
所以S△ABC＝bcsin∠BAC≤×8×＝.
(2)(2022·天津)在△ABC中，＝a，＝b，D是AC的中点，＝2，试用a，b表示为________，若⊥，则∠ACB的最大值为________．
答案　b－a　
解析　＝－＝b－a，
＝－＝b－a，
由⊥得(3b－a)·(b－a)＝0，
即3b2＋a2＝4a·b，
所以cos∠ACB＝＝≥＝，
当且仅当|a|＝|b|时取等号，而0<∠ACB<π，
所以∠ACB∈.
思维升华　用向量方法解决平面几何问题的步骤
平面几何问题向量问题解决向量问题解决几何问题．
跟踪训练1　(1)在△ABC中，已知·＝0，且·＝，则△ABC为(　　)
A．等边三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形
D．三边均不相等的三角形
答案　A
解析　，分别表示，方向上的单位向量，
＋在∠A的角平分线上，
∵·＝0，
∴||＝||，
又·＝，
∴cos〈，〉＝·＝，
则与的夹角为60°，
即∠BAC＝60°，
可得△ABC是等边三角形．
(2)在△ABC中，AC＝9，∠A＝60°，D点满足＝2，AD＝，则BC的长为(　　)
A．3 B．3 C．3 D．6
答案　A
解析　因为＝2，
所以＝＋
＝＋
＝＋(－)
＝＋，
设AB＝x，则2＝2，
得37＝x2＋×x×9cos 60°＋×92，
即2x2＋9x－126＝0，
因为x>0，故解得x＝6，即AB＝6，
所以||＝|－|
＝
＝＝3.
题型二　和向量有关的最值(范围)问题
命题点1　与平面向量基本定理有关的最值(范围)问题
例2　如图，在△ABC中，点P满足2＝，过点P的直线与AB，AC所在的直线分别交于点M，N，若＝x，＝y(x>0，y>0)，则2x＋y的最小值为(　　)
A．3 B．3 C．1 D.
答案　A
解析　由题意知，＝＋＝＋＝＋＝＋，又＝x，＝y(x>0，y>0)，
∴＝＋，
由M，P，N三点共线，得＋＝1，
∴2x＋y＝(2x＋y)＝＋＋≥＋2＝3，当且仅当x＝y时等号成立．
故2x＋y的最小值为3.
命题点2　与数量积有关的最值(范围)问题
例3　已知在边长为2的正△ABC中，M，N分别为边BC，AC上的动点，且CN＝BM，则·的最大值为________．
答案　－
解析　建立如图所示的平面直角坐标系，则B(－1,0)，C(1,0)，A(0，)，
则＝(2,0)，＝(－1，)，设＝t(0≤t≤1)，
则＝t(0≤t≤1)，
则M(2t－1,0)，N(1－t，t)，
∴＝(2t－1，－)，＝(2－3t，t)，
∴·＝(2t－1)×(2－3t)＋(－)×(t)
＝－6t2＋4t－2＝－62－，
当t＝时，·取得最大值－.
命题点3　与模有关的最值(范围)问题
例4　已知a，b是单位向量，a·b＝0，且向量c满足|c－a－b|＝1，则|c|的取值范围是(　　)
A．[－1，＋1] B．[－1，]
C．[，＋1] D．[2－，2＋]
答案　A
解析　a，b是单位向量，a·b＝0，设a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝(x，y)，|c－a－b|＝|(x－1，y－1)|＝＝1，∴(x－1)2＋(y－1)2＝1，|c|表示以(1,1)为圆心，1为半径的圆上的点到原点的距离，故－1≤|c|≤＋1，∴－1≤|c|≤＋1.
思维升华　向量求最值(范围)的常用方法
(1)利用三角函数求最值(范围)．
(2)利用基本不等式求最值(范围)．
(3)建立坐标系，设变量构造函数求最值(范围)．
(4)数形结合，应用图形的几何性质求最值．
跟踪训练2　(1)已知平行四边形ABCD的面积为9，∠BAD＝，E为线段BC的中点．若F为线段DE上的一点，且＝λ＋，则||的最小值为(　　)
A. B．3 C. D.
答案　D
解析　设||＝x，||＝y，
则S＝x·y·sin ＝xy＝9，
∴ xy＝18.
∵＝λ＋＝λ(＋)＋＝λ