2024年高考数学一轮复习（人教版） 第5章　必刷小题10　平面向量与复数.docx

必刷小题10　平面向量与复数
一、单项选择题
1．(2022·临沂模拟)设向量a＝(1，x)，b＝(x,9)，若a∥b，则x等于(　　)
A．－3 B．0 C．3 D．3或－3
答案　D
解析　由a∥b，得9－x2＝0，所以x＝±3.
2．(2023·长沙模拟)设z(1－2i)＝|3＋4i|，则z的共轭复数在复平面内对应的点在(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案　D
解析　因为z(1－2i)＝|3＋4i|＝＝5，
所以z＝＝＝＝1＋2i，
所以z的共轭复数为1－2i，它在复平面内对应的点(1，－2)在第四象限．
3．已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)等于(　　)
A．4 B．3 C．2 D．0
答案　B
解析　因为|a|＝1，a·b＝－1，所以a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2＋1＝3.
4．(2022·聊城模拟)若向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a⊥(a＋b)，则a与b的夹角为(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　由题可知，|a|＝1，|b|＝2，a·(a＋b)＝|a|2＋a·b＝0⇒a·b＝－1，
∴cos〈a，b〉＝＝＝－.
∵〈a，b〉∈[0，π]，∴向量a与b的夹角为.
5.如图，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若＝m，＝n，则m＋n等于(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
答案　C
解析　如图，连接AO，由O为BC的中点可得，＝(＋)＝＋，
∵M，O，N三点共线，∴＋＝1，即m＋n＝2.
6．定义：|a×b|＝|a|·|b|sin θ，其中θ为向量a与b的夹角，若|a|＝2，|b|＝5，a·b＝－6，则|a×b|等于(　　)
A．8 B．－8 C．8或－8 D．6
答案　A
解析　由已知可得cos θ＝＝－，
∵0≤θ≤π，∴sin θ＝＝，
∴|a×b|＝|a|·|b|sin θ＝8.
7．(2023·日照模拟)已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，且＝3，则·的值为(　　)
A．－ B. C．1 D．－8
答案　B
解析　如图所示，把△ABC放在直角坐标系中，
由于△ABC的边长为1，故B(0,0)，C(1,0)，A，∵点D，E分别是边AB，BC的中点，
∴D，E，设F(x，y)，＝，＝，∵＝3，∴⇒⇒F，＝，＝(1,0)，·＝.
8．(2023·岳阳模拟)在一个边长为2的等边△ABC中，若点P是平面ABC内的任意一点，则
·的最小值是(　　)
A．－ B．－ C．－1 D．－
答案　C
解析　如图，以AC为x轴，AC中点为原点建立平面直角坐标系，则A(－1,0)，C(1,0)，
设P(x，y)，则＝(－1－x，－y)，＝(1－x，－y)，
∴·＝x2－1＋y2＝x2＋y2－1≥－1，当且仅当P在原点时，取等号．
故·的最小值是－1.
二、多项选择题
9．(2022·潍坊模拟)若复数z1＝2＋3i，z2＝－1＋i，其中i是虚数单位，则下列说法正确的是(　　)
A.∈R
B.＝·
C．若z1＋m