2024年高考数学一轮复习（人教版） 第6章　§6.1　数列的概念.docx

§6.1　数列的概念
考试要求　1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数．
知识梳理
1．数列的有关概念
概念
含义
数列
按照确定的顺序排列的一列数
数列的项
数列中的每一个数
通项公式
如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式
递推公式
如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式
数列{an}的前n项和
把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝a1＋a2＋…＋an
2.数列的分类
分类标准
类型
满足条件
项数
有穷数列
项数有限
无穷数列
项数无限
项与项间的大小关系
递增数列
an＋1>an
其中n∈N*
递减数列
an＋1<an
常数列
an＋1＝an
摆动数列
从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列
3.数列与函数的关系
数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})到实数集R的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项an，记为an＝f(n)．
常用结论
1．已知数列{an}的前n项和Sn，则an＝
2．在数列{an}中，若an最大，则(n≥2，n∈N*)；若an最小，则(n≥2，n∈N*)．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)数列的项与项数是同一个概念．(　×　)
(2)数列1,2,3与3,2,1是两个不同的数列．(　√　)
(3)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列．(　×　)
(4)若数列用图象表示，则从图象上看是一群孤立的点．(　√　)
教材改编题
1．(多选)已知数列{an}的通项公式为an＝9＋12n，则在下列各数中，是{an}的项的是(　　)
A．21 B．33 C．152 D．153
答案　ABD
解析　由数列的通项公式得，a1＝21，a2＝33，a12＝153.
2．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n2＋n，则a2的值是(　　)
A．2 B．4 C．5 D．6
答案　B
解析　由题意，S2＝22＋2＝6，S1＝1＋1＝2，所以a2＝S2－S1＝6－2＝4.
3．在数列1,1,2,3,5,8,13,21，x,55，…中，x＝________.
答案　34
解析　通过观察数列各项的规律，发现从第三项起，每项都等于它前两项之和，因此x＝13＋21＝34.
题型一　由an与Sn的关系求通项公式
例1　(1)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2，Sn＋1＝2Sn－1，则a10等于(　　)
A．128 B．256 C．512 D．1 024
答案　B
解析　∵Sn＋1＝2Sn－1，∴当n≥2时，Sn＝2Sn－1－1，两式相减得an＋1＝2an.当n＝1时，a1＋a2＝2a1－1，又a1＝2，∴a2＝1.∴数列{an}从第二项开始为等比数列，公比为2.则a10＝a2×28＝
1×28＝256.
(2)已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＝2n＋2－3，则an＝________.
答案　
解析　根据题意，数列{an}满足Sn＝2n＋2－3，
当n≥2时，有an＝Sn－Sn－1＝(2n＋2－3)－(2n＋1－3)＝2n＋1，
当n＝1时，有a1＝S1＝8－3＝5，不符合an＝2n＋1，故an＝
思维升华　Sn与an的关系问题的求解思路
(1)利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解．
(2)利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解．
跟踪训练1　(1)已知正项数列{an}中，＋＋…＋＝，则数列{an}的通项公式为(　　)
A．an＝n B．an＝n2
C．an＝ D．an＝
答案　B
解析　∵＋＋…＋＝，
∴＋＋…＋＝(n≥2)，
两式相减得＝－＝n(n≥2)，
∴an＝n2(n≥2)，①
又当n＝1时，＝＝1，a1＝1，适合①式，
∴an＝n2，n∈N*.
(2)设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则Sn＝__________.
答案　－
解析　因为an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝SnSn＋1，所以由两式联立得Sn＋1－Sn＝SnSn＋1.因为Sn≠0，所以－＝1，即－＝－1.又＝－1，所以数列是首项为－1，公差为－1的等差数列．所以＝－1＋(n－1)×(