2024年高考数学一轮复习（人教版） 第6章　§6.3　等比数列.docx

§6.3　等比数列
考试要求　1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.3.了解等比数列与指数函数的关系．
知识梳理
1．等比数列有关的概念
(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q(q≠0)表示.
(2)等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，此时，G2＝ab.
2．等比数列的通项公式及前n项和公式
(1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝a1qn－1.
(2)等比数列通项公式的推广：an＝amqn－m.
(3)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝＝.
3．等比数列性质
(1)若m＋n＝p＋q，则aman＝apaq，其中m，n，p，q∈N*.特别地，若2w＝m＋n，则aman＝a，其中m，n，w∈N*.
(2)ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm(k，m∈N*)．
(3)若数列{an}，{bn}是两个项数相同的等比数列，则数列{an·bn}，{pan·qbn}和也是等比数列(b，p，q≠0)．
(4)等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn.(n为偶数且q＝－1除外)
(5)若或则等比数列{an}递增．
若或则等比数列{an}递减．
常用结论
1．等比数列{an}的通项公式可以写成an＝cqn，这里c≠0，q≠0.
2．等比数列{an}的前n项和Sn可以写成Sn＝Aqn－A(A≠0，q≠1,0)．
3．数列{an}是等比数列，Sn是其前n项和．
(1)若a1·a2·…·an＝Tn，则Tn，，，…成等比数列．
(2)若数列{an}的项数为2n，则＝q；若项数为2n＋1，则＝q，或＝q.
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)三个数a，b，c成等比数列的充要条件是b2＝ac.(　×　)
(2)当公比q>1时，等比数列{an}为递增数列．(　×　)
(3)等比数列中所有偶数项的符号相同．(　√　)
(4)数列{an}为等比数列，则S4，S8－S4，S12－S8成等比数列．(　×　)
教材改编题
1．设a，b，c，d是非零实数，则“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案　B
解析　若a，b，c，d成等比数列，则ad＝bc，
数列－1，－1,1,1.满足－1×1＝－1×1，但数列－1，－1，1,1不是等比数列，
即“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的必要不充分条件．
2．设等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝3，S4＝15，则S6等于(　　)
A．31 B．32 C．63 D．64
答案　C
解析　根据题意知，等比数列{an}的公比不是－1.由等比数列的性质，得(S4－S2)2＝S2·(S6－S4)，即122＝3×(S6－15)，解得S6＝63.
3．已知三个数成等比数列，若它们的和等于13，积等于27，则这三个数为________________．
答案　1,3,9或9,3,1
解析　设这三个数为，a，aq，
则解得或
∴这三个数为1,3,9或9,3,1.
题型一　等比数列基本量的运算
例1　(1)(2022·全国乙卷)已知等比数列{an}的前3项和为168，a2－a5＝42，则a6等于(　　)
A．14 B．12 C．6 D．3
答案　D
解析　方法一　设等比数列{an}的公比为q，易知q≠1.
由题意可得
即解得
所以a6＝a1q5＝3，故选D.
方法二　设等比数列{an}的公比为q，
易知q≠1.由题意可得
即解得
所以a6＝a1q5＝3，故选D.
(2)(2023·桂林模拟)朱载堉(1536～1611)是中国明代一位杰出的音乐家、数学家和天文历算家，他的著作《律学新说》中阐述了最早的“十二平均律”．十二平均律是目前世界上通用的把一组音(八度)分成十二个半音音程的律制，各相邻两律之间的频率之比完全相等，亦称“十二等程律”．即一个八度13个音，相邻两个音之间的频率之比相等，且最后一个音的频率是最初那个音的2倍．设第二个音的频率为f1，第八个音的频率为f2.则等于(　　)
A. B. C. D．4
答案　A
解析　设第一个音的频率为a，相邻两个音之间的频率之比为q，那么an＝aqn－1，
根据最后一个音的频率是最初