2024年高考数学一轮复习（人教版） 第6章　§6.4　数列中的构造问题[培优课].docx

§6.4　数列中的构造问题
数列中的构造问题是历年高考的一个热点内容，主、客观题均可出现，一般通过构造新的数列求数列的通项公式．
题型一　形如an＋1＝pan＋f(n)型
命题点1　an＋1＝pan＋q(p≠0,1，q≠0)
例1　(1)数列{an}满足an＝4an－1＋3(n≥2)且a1＝0，则a2 024等于(　　)
A．22 023－1 B．42 023－1
C．22 023＋1 D．42 023＋1
答案　B
解析　∵an＝4an－1＋3(n≥2)，
∴an＋1＝4(an－1＋1)(n≥2)，
∴{an＋1}是以1为首项，4为公比的等比数列，
则an＋1＝4n－1.
∴an＝4n－1－1，
∴a2 024＝42 023－1.
(2)已知数列{an}的首项a1＝1，且＝＋2，则数列{an}的通项公式为__________．
答案　an＝
解析　∵＝＋2，等式两边同时加1整理得＋1＝3，
又∵a1＝1，∴＋1＝2，
∴是首项为2，公比为3的等比数列．
∴＋1＝2·3n－1，∴an＝.
命题点2　an＋1＝pan＋qn＋c(p≠0,1，q≠0)
例2　已知数列{an}满足an＋1＝2an－n＋1(n∈N*)，a1＝3，求数列{an}的通项公式．
解　∵an＋1＝2an－n＋1，
∴an＋1－(n＋1)＝2(an－n)，
∴＝2，
∴数列{an－n}是以a1－1＝2为首项，2为公比的等比数列，
∴an－n＝2·2n－1＝2n，
∴an＝2n＋n.
命题点3　an＋1＝pan＋qn(p≠0,1，q≠0,1)
例3　(1)已知数列{an}中，a1＝3，an＋1＝3an＋2·3n＋1，n∈N*.则数列{an}的通项公式为(　　)
A．an＝(2n＋1)·3n B．an＝(n－1)·2n
C．an＝(2n－1)·3n D．an＝(n＋1)·2n
答案　C
解析　由an＋1＝3an＋2·3n＋1得＝＋，
∴－＝2，即数列是首项为1，公差为2的等差数列，
∴＝2n－1，故an＝(2n－1)·3n.
(2)在数列{an}中，a1＝1，且满足an＋1＝6an＋3n，则an＝________.
答案　－3n－1
解析　将已知an＋1＝6an＋3n的两边同乘，得＝2·＋，
令bn＝，则bn＋1＝2bn＋，利用命题点1的方法知bn＝－，则an＝－3n－1.
思维升华
形式
构造方法
an＋1＝pan＋q
引入参数c，构造新的等比数列{an－c}
an＋1＝pan＋qn＋c
引入参数x，y，构造新的等比数列{an＋xn＋y}
an＋1＝pan＋qn
两边同除以qn＋1，构造新的数列
跟踪训练1　(1)在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋2n.则数列{an}的通项公式an等于(　　)
A．n·2n－1 B．n·2n
C．(n－1)·2n D．(n＋1)·2n
答案　A
解析　由an＋1＝2an＋2n得＝＋1，设bn＝，则bn＋1＝bn＋1，
又b1＝1，∴{bn}是首项为1，公差为1的等差数列．
∴bn＝n，
∴an＝n·2n－1.
(2)(2023·黄山模拟)已知数列{an}满足a1＝1，(2＋an)·(1－an＋1)＝2，设的前n项和为Sn，则a2 023(S2 023＋2 023)的值为(　　)
A．22 023－2 B．22 023－1
C．2 D．1
答案　C
解析　(2＋an)(1－an＋1)＝2，则an＋1＝，
即＝＋1，
得＋1＝2，故是以2为首项，2为公比的等比数列，＋1＝2n，＝2n－1，an＝，
S2 023＋2 023＝2＋22＋…＋22 023＝22 024－2，
∴a2 023(S2 023＋2 023)＝2.
(3)已知数列{an}满足an＋1＝2an＋n，a1＝2，则an＝________.
答案　2n＋1－n－1
解析　令an＋1＋x(n＋1)＋y＝2(an＋xn＋y)，即an＋1＝2an＋xn＋y－x，
与原等式比较得，x＝y＝1，所以＝2，所以数列{an＋n＋1}是以a1＋1＋1＝4为首项，2为公比的等比数列，所以an＋n＋1＝4×2n－1，即an＝2n＋1－n－1.
题型二　相邻项的差为特殊数列(形如an＋1＝pan＋qan－1)
例4　(1)已知数列{an}满足：a1＝a2＝2，an＝3an－1＋4an－2(n≥3)，则a9＋a10等于(　　)
A．47 B．48
C．49 D．410
答案　C
解析　由题意得a1＋a2＝4，
由an＝3an－1＋4an－2(n≥3)，
得an＋an－1＝4(a