2024年高考数学一轮复习（人教版） 第6章　§6.6　数列中的综合问题.docx

§6.6　数列中的综合问题
考试要求　数列的综合运算问题以及数列与函数、不等式等知识的交汇问题，是历年高考的热点内容．一般围绕等差数列、等比数列的知识命题，涉及数列的函数性质、通项公式、前n项和公式等．
题型一　等差数列、等比数列的综合运算
例1　(2023·厦门模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n2＋n，递增的等比数列{bn}满足b1＋b4＝18，b2·b3＝32.
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)若cn＝an·bn，n∈N*，求数列{cn}的前n项和Tn.
解　(1)当n≥2时，an＝Sn－Sn－1
＝n2＋n－＝3n－1，
又∵当n＝1时，a1＝S1＝2符合上式，
∴an＝3n－1.
∵b2b3＝b1b4，
∴b1，b4是方程x2－18x＋32＝0的两根，
又∵b4>b1，
∴解得b1＝2，b4＝16，
∴q3＝＝8，
∴q＝2，∴bn＝b1·qn－1＝2n.
(2)∵an＝3n－1，bn＝2n，
则cn＝(3n－1)·2n，
∴Tn＝2·21＋5·22＋8·23＋11·24＋…＋(3n－1)·2n，
2Tn＝2·22＋5·23＋8·24＋11·25＋…＋(3n－1)·2n＋1，
将两式相减得－Tn＝2·21＋3(22＋23＋24＋…＋2n)－(3n－1)·2n＋1
＝4＋3－(3n－1)·2n＋1＝(4－3n)·2n＋1－8，
∴Tn＝(3n－4)·2n＋1＋8.
思维升华　数列的综合问题常将等差、等比数列结合，两者相互联系、相互转化，解答这类问题的方法：寻找通项公式，利用性质进行转化．
跟踪训练1　(2022·全国甲卷)记Sn为数列{an}的前n项和．已知＋n＝2an＋1.
(1)证明：{an}是等差数列；
(2)若a4，a7，a9成等比数列，求Sn的最小值．
(1)证明　由＋n＝2an＋1，
得2Sn＋n2＝2ann＋n，①
所以2Sn＋1＋(n＋1)2＝2an＋1(n＋1)＋(n＋1)，②
②－①，得2an＋1＋2n＋1＝2an＋1(n＋1)－2ann＋1，
化简得an＋1－an＝1，
所以数列{an}是公差为1的等差数列．
(2)解　由(1)知数列{an}的公差为1.
由a4，a7，a9成等比数列，
得a＝a4a9，
即(a1＋6)2＝(a1＋3)(a1＋8)，
解得a1＝－12.
所以Sn＝－12n＋＝
＝2－，
所以当n＝12或13时，Sn取得最小值，最小值为－78.
题型二　数列与其他知识的交汇问题
命题点1　数列与不等式的交汇
例2　(1)已知数列{an}满足a1＋a2＋a3＋…＋an＝n2＋n(n∈N*)，设数列{bn}满足：bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn，若Tn<λ(n∈N*)恒成立，则实数λ的取值范围为(　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　数列{an}满足a1＋a2＋a3＋…＋an＝n2＋n，①
当n≥2时，a1＋a2＋a3＋…＋an－1＝(n－1)2＋(n－1)，②
①－②得an＝2n，故an＝2n2，当n＝1时，a1＝2也满足上式．
数列{bn}满足：bn＝＝
＝，
则Tn＝
＝，
由于Tn<λ(n∈N*)恒成立，
故<λ，整理得λ>，
因为y＝＝在n∈N*上单调递减，
故当n＝1时，max＝，
所以λ>.
(2)已知数列{an}满足a1＝，3an,2an＋1，anan＋1成等差数列．
①证明：数列是等比数列，并求{an}的通项公式；
②记{an}的前n项和为Sn，求证：≤Sn<.
①解　由已知得4an＋1＝3an＋anan＋1，因为a1＝≠0，所以由递推关系可得an≠0恒成立，
所以＝＋1，所以－4＝－3，
即－1＝.
又因为－1＝－1＝，所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以－1＝n，所以an＝.
②证明　由①可得an＝≥＝×n－1，
所以Sn≥＋×1＋…＋×n－1
＝，
an＝<＝n，S1＝<，
当n≥2时，Sn<＋2＋…＋n＝＋＝－3×n<.
综上所述，≤Sn<成立．
命题点2　数列与函数的交汇
例3　(1)(2023·龙岩模拟)已知函数f(x)＝x3＋4x，记等差数列{an}的前n项和为Sn，若f(a1＋2)＝100，f(a2 022＋2)＝－100，则S2 022等于(　　)
A．－4 044 B．－2 022
C．2 022 D．4 044
答案　A
解析　因为f(－x)＝－x3－4x＝－f(x)，所以f(x)是奇函数，
因为f(a1＋2)＝100，f(a2 022＋2)＝－100，所以f(a1＋2)＝－f(a2 022＋2)，
所以a1