2024年高考数学一轮复习（人教版） 第7章　§7.8　空间距离及立体几何中的探索问题.docx

§7.8　空间距离及立体几何中的探索问题
考试要求　1.会求空间中点到直线以及点到平面的距离.2.以空间向量为工具，探究空间几何体中线、面的位置关系或空间角存在的条件．
知识梳理
1．点到直线的距离
如图，已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设＝a，则向量在直线l上的投影向量＝(a·u)u，在Rt△APQ中，由勾股定理，得PQ＝＝.
2．点到平面的距离
如图，已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点．过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，则n是直线l的方向向量，且点P到平面α的距离就是在直线l上的投影向量的长度，因此PQ＝＝＝.
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平面α上不共线的三点到平面β的距离相等，则α∥β.(　×　)
(2)点到直线的距离也就是该点与直线上任一点连线的长度．(　×　)
(3)直线l平行于平面α，则直线l上各点到平面α的距离相等．(　√　)
(4)直线l上两点到平面α的距离相等，则l平行于平面α.(　×　)
教材改编题
1．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，则A1A到平面B1D1DB的距离为(　　)
A. B．2 C. D.
答案　A
解析　由正方体性质可知，A1A∥平面B1D1DB，A1A到平面B1D1DB的距离就是点A1到平面B1D1DB的距离，连接A1C1，交B1D1于O1(图略)，A1O1的长即为所求，由题意可得A1O1＝A1C1＝.
2．已知直线l经过点A(2,3,1)且向量n＝为l的一个单位方向向量，则点P(4,3,2)到l的距离为________．
答案　
解析　∵＝(－2,0，－1)，n＝为l的一个单位方向向量，
∴点P到l的距离d＝＝＝.
3．设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，则点D1到平面A1BD的距离是________．
答案　
解析　如图，建立空间直角坐标系，
则D1(0,0,2)，A1(2,0,2)，D(0,0,0)，B(2,2,0)，
所以＝(2,0,0)，＝(2,0,2)，＝(2,2,0)．
设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)，
则即
令x＝1，则n＝(1，－1，－1)，
所以点D1到平面A1BD的距离d＝＝.
题型一　空间距离
例1　(1)(2023·长沙模拟)空间中有三点P(1，－2，－2)，M(2，－3,1)，N(3，－2,2)，则点P到直线MN的距离为(　　)
A．2 B．2 C．3 D．2
答案　A
解析　因为＝(1,1,1)，
所以的一个单位方向向量为u＝(1,1,1)．
因为＝(1，－1,3)，
故||＝＝，·u＝(1－1＋3)＝，
所以点P到直线MN的距离为＝＝2.
(2)(2022·济宁模拟)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥平面BCC1B1，BC＝AB＝AA1＝2，BC1＝2，M为线段AB上的动点．
①证明：BC1⊥CM；
②若E为A1C1的中点，求点A1到平面BCE的距离．
①证明　因为AB⊥平面BB1C1C，C1B⊂平面BB1C1C，所以AB⊥C1B，
在△BCC1中，BC＝2，BC1＝2，CC1＝AA1＝4，所以BC2＋BC＝CC，所以CB⊥C1B.
因为AB∩BC＝B，AB，BC⊂平面ABC，所以C1B⊥平面ABC.
又因为CM⊂平面ABC，
所以C1B⊥CM.
②解　由①知，AB⊥C1B，BC⊥C1B，AB⊥BC，
以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系．
则B(0,0,0)，C(2,0,0)，C1(0,2，0)，A1(－2，2，4)，E(－1,2，2)，
＝(2,0,0), ＝(－1,2，2)，
设平面BCE的法向量为n＝(x，y，z)，
则即
令y＝，则n＝(0，，－3)．
又因为＝(4，－2，－4)，
故点A1到平面BCE的距离d＝＝.
思维升华　(1)点到直线的距离．
①设过点P的直线l的单位方向向量为n，A为直线l外一点，点A到直线l的距离d＝；
②若能求出点在直线上的射影坐标，可以直接利用两点间距离公式求距离．
(2)求点面距一般有以下三种方法．
①作点到面的垂线，求点到垂足的距离；
②等体积法；
③向量法.
跟踪训练1　(1)(2023·枣庄模拟)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，点F，G分别是AB，CC1的中点，则△D1GF的面积为________．
答案　
解析　以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系(图略)，
则D1(0,0,2)，G(0,2,