2024年高考数学一轮复习（人教版） 第7章　§7.9　空间动态问题突破[培优课].docx

§7.9　空间动态问题突破
空间动态问题，是高考常考题型，常以客观题出现．常见题型有空间位置关系判定、轨迹问题、最值问题、范围问题等．
题型一　空间位置关系的判定
例1　(1)(2023·昆明模拟)已知P，Q分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BB1，CC1上的动点(不与顶点重合)，则下列结论错误的是(　　)
A．AB⊥PQ
B．平面BPQ∥平面ADD1A1
C．四面体ABPQ的体积为定值
D．AP∥平面CDD1C1
答案　C
解析　对于A，∵AB⊥BC，AB⊥BB1，BC∩BB1＝B，BC，BB1⊂平面BCC1B1，
∴AB⊥平面BCC1B1，∵PQ⊂平面BCC1B1，∴AB⊥PQ，故A正确；
对于B，∵平面ADD1A1∥平面BCC1B1，平面BPQ与平面BCC1B1重合，
∴平面BPQ∥平面ADD1A1，故B正确；
对于C，∵A到平面BPQ的距离AB为定值，Q到BP的距离为定值，BP的长不是定值，
∴四面体ABPQ的体积不为定值，故C错误；
对于D，∵平面ABB1A1∥平面CDD1C1，AP⊂平面ABB1A1，
∴AP∥平面CDD1C1，故D正确．
(2)(多选)已知等边△ABC的边长为6，M，N分别为边AB，AC的中点，将△AMN沿MN折起至△A′MN，在四棱锥A′－MNCB中，下列说法正确的是(　　)
A．直线MN∥平面A′BC
B．当四棱锥A′－MNCB体积最大时，平面A′MN⊥平面MNCB
C．在折起过程中存在某个位置使BN⊥平面A′NC
D．当四棱锥A′－MNCB体积最大时，它的各顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为
答案　AB
解析　因为MN∥BC，MN⊄平面A′BC，BC⊂平面A′BC，所以直线MN∥平面A′BC，故A正确；
因为四棱锥A′－MNCB的底面积为定值，所以当点A′到平面MNCB距离最大时，体积最大，此时平面A′MN⊥平面MNCB，满足题意，故B正确；
对于C，如图，若BN⊥平面A′NC，则BN⊥AA′，又A′D⊥MN，AD⊥MN，A′D∩AD＝D，可知MN⊥平面A′AD，所以A′A⊥MN，又MN∩BN＝N，所以A′A⊥平面MNCB，这显然不可能，故C错误；
当四棱锥A′－MNCB体积最大时，平面A′MN⊥平面MNCB，如图，
由∠MBC＝，取BC的中点E，则E是等腰梯形MNCB外接圆的圆心，F是△A′MN的外心，
作OE⊥平面MNCB，连接OF，则OF⊥平面A′MN，则O是四棱锥A′－MNCB外接球的球心，
且OF＝DE＝，A′F＝，设四棱锥A′－MNCB外接球的半径为R，则R2＝A′F2＋OF2＝.
故球O的表面积为4πR2＝39π.故D错误．
思维升华　解决空间位置关系的动点问题
(1)应用“位置关系定理”转化．
(2)建立“坐标系”计算．
跟踪训练1　(2022·杭州质检)如图，点P在正方体ABCD－A1B1C1D1的面对角线BC1上运动，
则下列结论一定成立的是(　　)
A．三棱锥A－A1PD的体积大小与点P的位置有关
B．A1P与平面ACD1相交
C．平面PDB1⊥平面A1BC1
D．AP⊥D1C
答案　C
解析　对于选项A，.
在正方体中，BC1∥平面AA1D，所以点P到平面AA1D的距离不变，
即三棱锥P－AA1D的高不变，又△AA1D的面积不变，
因此三棱锥P－AA1D的体积不变，
即三棱锥A－A1PD的体积与点P的位置无关，故A不成立；
对于选项B，由于BC1∥AD1，AD1⊂平面ACD1，BC1⊄平面ACD1，
所以BC1∥平面ACD1，同理可证BA1∥平面ACD1，又BA1∩BC1＝B，
所以平面BA1C1∥平面ACD1，因为A1P⊂平面BA1C1，
所以A1P∥平面ACD1，故B不成立；
对于选项C，因为A1C1⊥BD，A1C1⊥BB1，BD∩BB1＝B，
所以A1C1⊥平面BB1D，则A1C1⊥B1D；同理A1B⊥B1D，
又A1C1∩A1B＝A1，所以B1D⊥平面A1BC1，
又B1D⊂平面PDB1，所以平面PDB1⊥平面A1BC1，故C成立；
对于选项D，当B与P重合时，AP与D1C的夹角为，故D不成立．
题型二　轨迹问题
例2　(1)(2023·韶关模拟)设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，P为底面正方形ABCD内的一动点，若△APC1的面积S＝，则动点P的轨迹是(　　)
A．圆的一部分 B．双曲线的一部分
C．抛物线的一部分 D．椭圆的一部分
答案　D
解析　设d是△APC1边AC1上的高，则＝·|AC1|·d＝d＝，所以d＝，即点P到直线AC
1的距离为定值，所以点P在以直线AC