2024年高考数学一轮复习（人教版） 第8章　§8.1　直线的方程.docx

§8.1　直线的方程
考试要求　1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.2.根据确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、斜截式、两点式、截距式及一般式)．
知识梳理
1．直线的方向向量
设A，B为直线上的两点，则就是这条直线的方向向量．
2．直线的倾斜角
(1)定义：当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．
(2)范围：直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°.
3．直线的斜率
(1)定义：把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母k表示，即k＝tan_α(α≠90°)．
(2)过两点的直线的斜率公式
如果直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，其斜率k＝.
4．直线方程的五种形式
名称
方程
适用范围
点斜式
y－y0＝k(x－x0)
不含直线x＝x0
斜截式
y＝kx＋b
不含垂直于x轴的直线
两点式
＝(x1≠x2，y1≠y2)
不含直线x＝x1 和直线y＝y1
截距式
＋＝1
不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式
Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)
平面直角坐标系内的直线都适用
常用结论
1．直线的斜率k与倾斜角α之间的关系
α
0°
0°<α<90°
90°
90°<α<180°
k
0
k>0
不存在
k<0
牢记口诀：“斜率变化分两段，90°是分界线；
遇到斜率要谨记，存在与否要讨论”．
2．“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数．应注意过原点的特殊情况是否满足题意．
3．直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的一个方向向量a＝(－B，A)．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．(　×　)
(2)直线的斜率越大，倾斜角就越大．(　×　)
(3)若直线的倾斜角为α，则斜率为tan α.(　×　)
(4)直线y＝kx－2恒过定点(0，－2)．(　√　)
教材改编题
1．已知点A(2,0)，B(3，)，则直线AB的倾斜角为(　　)
A．30° B．60° C．120° D．150°
答案　B
解析　由题意得直线AB的斜率k＝＝，
设直线AB的倾斜角为α，则tan α＝，∵0°≤α<180°，
∴α＝60°.
2．已知直线l过点(1,1)，且倾斜角为90°，则直线l的方程为(　　)
A．x＋y＝1 B．x－y＝1
C．y＝1 D．x＝1
答案　D
解析　因为直线l的倾斜角为90°，
所以该直线无斜率，与x轴垂直，又因为直线l过点(1,1)，
所以直线l的方程为x＝1.
3．过点P(2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为________________________．
答案　3x－2y＝0或x＋y－5＝0
解析　当截距为0时，直线方程为3x－2y＝0；
当截距不为0时，
设直线方程为＋＝1，
则＋＝1，
解得a＝5.
所以直线方程为x＋y－5＝0.
题型一　直线的倾斜角与斜率
例1　(1)若直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l的斜率的取值范围是(　　)
A．[－，1] B．(－∞，－]∪[1，＋∞)
C. D.∪[1，＋∞)
答案　B
解析　如图，当直线l过点B时，设直线l的斜率为k1，则k1＝＝－；当直线l过点A时， 设直线l的斜率为k2，则k2＝＝1，所以要使直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率的取值范围是(－∞，－]∪[1，＋∞)．
(2)直线2xcos α－y－3＝0的倾斜角的变化范围是(　　)
A. B.
C. D.
答案　B
解析　直线2xcos α－y－3＝0的斜率k＝2cos α.
由于α∈，所以≤cos α≤，
因此k＝2cos α∈[1，]．
设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈[1，]．
由于θ∈[0，π)，
所以θ∈，即倾斜角的变化范围是.
思维升华　直线倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分与两种情况讨论．
跟踪训练1　(1)(2023·温州模拟)直线x＋(m2＋1)y＋m2＝0(m∈R)的倾斜角的最小值是________．
答案　
解析　直线可化为y＝－x－.
∵m2≥0，∴m2＋1≥1，
则0<≤1，
∴－1≤－<0.
则所求倾斜角的最小值是.
(2)