2024年高考数学一轮复习（人教版） 第8章　§8.3　圆的方程.docx

§8.3　圆的方程
考试要求　1.理解确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，掌握圆的标准方程与一般方程.
2.能根据圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题．
知识梳理
1．圆的定义和圆的方程
定义
平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆
方程
标准
(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)
圆心C(a，b)
半径为r
一般
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
(D2＋E2－4F>0)
圆心C
半径r＝
2.点与圆的位置关系
平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系：
(1)|MC|>r⇔M在圆外，即(x0－a)2＋(y0－b)2>r2⇔M在圆外；
(2)|MC|＝r⇔M在圆上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔M在圆上；
(3)|MC|<r⇔M在圆内，即(x0－a)2＋(y0－b)2<r2⇔M在圆内．
常用结论
1．以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.
2．圆心在过切点且与切线垂直的直线上．
3．圆心在任一弦的垂直平分线上．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．(　√　)
(2)(x－2)2＋(y＋1)2＝a2(a≠0)表示以(2,1)为圆心，a为半径的圆．(　×　)
(3)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0.(　√　)
(4)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则x＋y＋Dx0＋Ey0＋F>0.(　√　)
教材改编题
1．圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是(　　)
A．(x－1)2＋(y－1)2＝1
B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1
C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2
D．(x－1)2＋(y－1)2＝2
答案　D
解析　因为圆心为(1,1)且过原点，所以该圆的半径r＝＝，则该圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.
2．若曲线C：x2＋y2＋2ax－4ay－10a＝0表示圆，则实数a的取值范围为(　　)
A．(－2,0)
B．(－∞，－2)∪(0，＋∞)
C．[－2,0]
D．(－∞，－2]∪[0，＋∞)
答案　B
解析　由x2＋y2＋2ax－4ay－10a＝0，
得(x＋a)2＋(y－2a)2＝5a2＋10a，
由该曲线表示圆，可知5a2＋10a>0，解得a>0或a<－2.
3．(多选)下列各点中，在圆(x－1)2＋(y＋2)2＝25的内部的是(　　)
A．(0,2) B．(3,3)
C．(－2,2) D．(4,1)
答案　AD
解析　由(0－1)2＋(2＋2)2＜25知(0,2)在圆内；由(3－1)2＋(3＋2)2＞25知(3,3)在圆外；由(－2－1)2＋(2＋2)2＝25知(－2,2)在圆上，由(4－1)2＋(1＋2)2＜25知(4,1)在圆内．
题型一　圆的方程
例1　(1)(2022·全国乙卷)过四点(0,0)，(4,0)，(－1,1)，(4,2)中的三点的一个圆的方程为________________________________________________________________________
________________________________________________________________________.
答案　(x－2)2＋(y－3)2＝13或(x－2)2＋(y－1)2＝5或2＋2＝或2＋(y－1)2＝
解析　依题意设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，其中D2＋E2－4F>0.
若过(0,0)，(4,0)，(－1,1)，
则
解得满足D2＋E2－4F>0，
所以圆的方程为x2＋y2－4x－6y＝0，
即(x－2)2＋(y－3)2＝13；
若过(0,0)，(4,0)，(4,2)，
则
解得满足D2＋E2－4F>0，
所以圆的方程为x2＋y2－4x－2y＝0，
即(x－2)2＋(y－1)2＝5；
若过(0,0)，(4,2)，(－1,1)，
则
解得满足D2＋E2－4F>0，
所以圆的方程为x2＋y2－x－y＝0，
即2＋2＝；
若过(－1,1)，(4,0)，(4,2)，
则
解得满足D2＋E2－4F>0，
所以圆的方程为
x2＋y2－x－2y－＝0，
即2＋(y－1)2＝.
(2)(2022·全国甲卷)设点M在直线2x＋y－1＝0上，点(3,0)和(0,1)均在⊙M上，则⊙M的方