2024年高考数学一轮复习（人教版） 第8章　§8.5　椭　圆.docx

§8.5　椭　圆
考试要求　1.理解椭圆的定义、几何图形、标准方程.2.掌握椭圆的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).3.掌握椭圆的简单应用．
知识梳理
1．椭圆的定义
把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
2．椭圆的简单几何性质
焦点的位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
图形
标准方程
＋＝1(a>b>0)
＋＝1(a>b>0)
范围
－a≤x≤a且－b≤y≤b
－b≤x≤b且－a≤y≤a
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)，
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)，
B1(－b,0)，B2(b,0)
轴长
短轴长为2b，长轴长为2a
焦点
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距
|F1F2|＝2c
对称性
对称轴：x轴和y轴，对称中心：原点
离心率
e＝(0<e<1)
a，b，c的关系
a2＝b2＋c2
常用结论
椭圆的焦点三角形
椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形．如图所示，设∠F1PF2＝θ.
(1)当P为短轴端点时，θ最大，最大．
(2)＝|PF1||PF2|sin θ＝b2tan ＝c|y0|.
(3)|PF1|max＝a＋c，|PF1|min＝a－c.
(4)|PF1|·|PF2|≤2＝a2.
(5)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos θ.
(6)焦点三角形的周长为2(a＋c)．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．(　×　)
(2)椭圆是轴对称图形，也是中心对称图形．(　√　)
(3)＋＝1(m≠n)表示焦点在y轴上的椭圆．(　×　)
(4)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．(　×　)
教材改编题
1．椭圆＋＝1上点P到上焦点的距离为4，则点P到下焦点的距离为(　　)
A．6 B．3 C．4 D．2
答案　A
解析　由椭圆方程＋＝1，得a2＝25，即a＝5，设下焦点为F1，上焦点为F2，则|PF1|＋|PF2|＝2a＝10，因为|PF2|＝4，所以|PF1|＝6，即点P到下焦点的距离为6.
2．已知椭圆C：＋＝1的一个焦点为(2,0)，则C的离心率为(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　由已知可得b2＝4，c＝2，则a2＝b2＋c2＝8，所以a＝2，
则离心率e＝＝.
3．若椭圆C：＋＝1，则该椭圆上的点到焦点距离的最大值为(　　)
A．3 B．2＋
C．2 D.＋1
答案　A
解析　由题意知a＝2，b＝，所以c＝1，则椭圆上的点到焦点距离的最大值为a＋c＝3.
题型一　椭圆的定义及其应用
例1　(1)(2022·丽江模拟)一动圆P与圆A：(x＋1)2＋y2＝1外切，而与圆B：(x－1)2＋y2＝64内切，那么动圆的圆心P的轨迹是(　　)
A．椭圆 B．双曲线
C．抛物线 D．双曲线的一支
答案　A
解析　设动圆P的半径为r，
又圆A：(x＋1)2＋y2＝1的半径为1，圆B：(x－1)2＋y2＝64的半径为8，
则|PA|＝r＋1，|PB|＝8－r，
可得|PA|＋|PB|＝9，又9>2＝|AB|，
则动圆的圆心P的轨迹是以A，B为焦点，长轴长为9的椭圆．
(2)设点P为椭圆C：＋＝1(a>2)上一点，F1，F2分别为C的左、右焦点，且∠F1PF2＝60°，则△PF1F2的面积为________．
答案　
解析　方法一　由题意知，c＝.
又∠F1PF2＝60°，|PF1|＋|PF2|＝2a，
|F1F2|＝2，
∴|F1F2|2＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1||PF2|－2|PF1||PF2|cos 60°
＝4a2－3|PF1||PF2|＝4a2－16，
∴|PF1||PF2|＝，
∴＝|PF1||PF2|sin 60°
＝××
＝.
方法二　由题意得b2＝4，∠F1PF2＝60°，∴＝4×tan 30°＝.
延伸探究　若将本例(2)中“∠F1PF2＝60°”改成“PF1⊥PF2”，求△PF1F2的面积．
解　∵PF1⊥PF2，
∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4(a2－4)
＝4a2－16，
又|PF1|＋|PF2|＝2a，|PF1|2＋|PF2|2＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1||PF2|，