2024年高考数学一轮复习（人教版） 第8章　§8.7　抛物线.docx

§8.7　抛物线
考试要求　1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程.2.掌握抛物线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).3.了解抛物线的简单应用．
知识梳理
1．抛物线的概念
把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．
2．抛物线的标准方程和简单几何性质
标准
方程
y2＝2px(p>0)
y2＝－2px(p>0)
x2＝2py(p>0)
x2＝－2py(p>0)
图形
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
焦点
准线
方程
x＝－
x＝
y＝－
y＝
对称轴
x轴
y轴
顶点
(0,0)
离心率
e＝1
常用结论
1．通径：过焦点与对称轴垂直的弦长等于2p.
2．抛物线y2＝2px(p>0)上一点P(x0，y0)到焦点F的距离|PF|＝x0＋，也称为抛物线的焦半径．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹是抛物线．(　×　)
(2)方程y＝4x2表示焦点在x轴上的抛物线，焦点坐标是(1,0)．(　×　)
(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．(　×　)
(4)以(0,1)为焦点的抛物线的标准方程为x2＝4y.(　√　)
教材改编题
1．抛物线x2＝y的准线方程为(　　)
A．y＝－ B．x＝－
C．y＝ D．x＝
答案　A
解析　由抛物线的标准方程可得，抛物线的焦点位于y轴正半轴上，焦点坐标为，准线方程为y＝－.
2．过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则|PQ|等于(　　)
A．9 B．8 C．7 D．6
答案　B
解析　抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.根据题意可得，
|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x1＋1＋x2＋1
＝x1＋x2＋2＝8.
3．抛物线y2＝2px(p>0)上一点M(3，y)到焦点F的距离|MF|＝4，则抛物线的方程为(　　)
A．y2＝8x B．y2＝4x C．y2＝2x D．y2＝x
答案　B
解析　由题意可得|MF|＝xM＋，
则3＋＝4，即p＝2，故抛物线方程为y2＝4x.
题型一　抛物线的定义及应用
例1　(1)(2022·全国乙卷)设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，点A在C上，点B(3,0)，若|AF|＝|BF|，则|AB|等于(　　)
A．2 B．2 C．3 D．3
答案　B
解析　方法一　由题意可知F(1,0)，抛物线的准线方程为x＝－1.
设A，
则由抛物线的定义可知|AF|＝＋1.
因为|BF|＝3－1＝2，
所以由|AF|＝|BF|，可得＋1＝2，
解得y0＝±2，所以A(1,2)或A(1，－2)．
不妨取A(1,2)，
则|AB|＝＝＝2.
方法二　由题意可知F(1,0)，故|BF|＝2，
所以|AF|＝2.
因为抛物线的通径长为2p＝4，
所以AF的长为通径长的一半，
所以AF⊥x轴，
所以|AB|＝＝＝2.
(2)已知点M(20,40)不在抛物线C：y2＝2px(p>0)上，抛物线C的焦点为F.若对于抛物线上的一点P，|PM|＋|PF|的最小值为41，则p的值等于________．
答案　42或22
解析　当点M(20,40)位于抛物线内时，如图①，过点P作抛物线准线的垂线，垂足为D，
则|PF|＝|PD|，
|PM|＋|PF|＝|PM|＋|PD|.
当点M，P，D三点共线时，
|PM|＋|PF|的值最小．
由最小值为41，得20＋＝41，解得p＝42.
当点M(20,40)位于抛物线外时，如图②，当点P，M，F三点共线时，|PM|＋|PF|的值最小．
由最小值为41，得＝41，
解得p＝22或p＝58.
当p＝58时，y2＝116x，点M(20,40)在抛物线内，故舍去．
综上，p＝42或p＝22.
　　　　 ①　　　　　　　　②
思维升华　“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”，许多抛物线问题均可根据定义获得简捷、直观的求解．“由数想形，由形想数，数形结合”是灵活解题的一条捷径．
跟踪训练1　(1)已知抛物线y＝mx2(m>0)上的点(x0,2)到该抛物线焦点F的距离为，则m等于(　　)
A．4 B．3 C. D.
答案　D
解析　由题意知，抛物线y＝mx2(m>0)的准线方程为y＝－，
根据抛