人教版高中数学第1章 §1.3　等式性质与不等式性质.docx

§1.3　等式性质与不等式性质
考试要求　1.掌握等式性质.2.会比较两个数的大小.3.理解不等式的性质，并能简单应用．
知识梳理
1．两个实数比较大小的方法
作差法 (a，b∈R)
2．等式的性质
性质1　对称性：如果a＝b，那么b＝a；
性质2　传递性：如果a＝b，b＝c，那么a＝c；
性质3　可加(减)性：如果a＝b，那么a±c＝b±c；
性质4　可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc；
性质5　可除性：如果a＝b，c≠0，那么＝.
3．不等式的性质
性质1　对称性：a>b⇔b<a；
性质2　传递性：a>b，b>c⇒a>c；
性质3　可加性：a>b⇔a＋c>b＋c；
性质4　可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac<bc；
性质5　同向可加性：a>b，c>d⇒a＋c>b＋d；
性质6　同向同正可乘性：a>b>0，c>d>0⇒ac>bd；
性质7　同正可乘方性：a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2)．
常用结论
1．若ab>0，且a>b⇔<.
2．若a>b>0，m>0⇒<；
若b>a>0，m>0⇒>.
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)两个实数a，b之间，有且只有a>b，a＝b，a<b三种关系中的一种．(　√　)
(2)若>1，则b>a.(　×　)
(3)若x>y，则x2>y2.(　×　)
(4)若>，则b<a.(　×　)
教材改编题
1．(多选)设b>a>0，c∈R，则下列不等式中正确的是(　　)
A． B.>
C.> D．ac3<bc3
答案　ABC
解析　因为y＝在(0，＋∞)上单调递增，
所以，A正确；
因为y＝在(0，＋∞)上单调递减，
所以>，B正确；
因为－＝>0，所以>，C正确；
当c＝0时，ac3＝bc3，所以D不正确．
2．已知M＝x2－3x，N＝－3x2＋x－3，则M，N的大小关系是________．
答案　M>N
解析　M－N＝(x2－3x)－(－3x2＋x－3)
＝4x2－4x＋3＝(2x－1)2＋2>0，
∴M>N.
3．已知－1<a<2，－3<b<5，则a＋2b的取值范围是______．
答案　(－7,12)
解析　∵－3<b<5，∴－6<2b<10，
又－1<a<2，
∴－7<a＋2b<12.
题型一　比较两个数(式)的大小
例1　(1)若a<0，b<0，则p＝＋与q＝a＋b的大小关系为(　　)
A．p<q B．p≤q C．p>q D．p≥q
答案　B
解析　p－q＝＋－a－b
＝＋＝(b2－a2)·
＝＝，
因为a<0，b<0，所以a＋b<0，ab>0.
若a＝b，则p－q＝0，故p＝q；
若a≠b，则p－q<0，故p<q.
综上，p≤q.
(2)(2022·菏泽模拟)已知a，b，c∈(0,3)，且a5＝5a，b4＝4b，c3＝3c，下列不等式正确的是(　　)
A．a>b>c B．c>a>b
C．c>b>a D．a>c>b
答案　C
解析　a5＝5a，即＝，
b4＝4b，即＝，
c3＝3c，即＝，
设f(x)＝，
则f(a)＝f(5)，f(b)＝f(4)，f(c)＝f(3)，
f′(x)＝(x>0)，
当x>e时，f′(x)<0，f(x)＝单调递减，
当0<x<e时，
f′(x)>0，f(x)＝单调递增，
因为a，b，c∈(0,3)，f(a)＝f(5)，
f(b)＝f(4)，f(c)＝f(3)，
所以a，b，c∈(0，e)，因为f(5)<f(4)<f(3)，
所以f(a)<f(b)<f(c)，a<b<c.
教师备选
已知M＝，N＝，则M，N的大小关系为________．
答案　M>N
解析　方法一　M－N＝－
＝
＝
＝>0.
∴M>N.
方法二　令f(x)＝
＝＝＋，
显然f(x)是R上的减函数，
∴f(2 021)>f(2 022)，即M>N.
思维升华　比较大小的常用方法
(1)作差法：①作差；②变形；③定号；④得出结论．
(2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④得出结论．
(3)构造函数，利用函数的单调性比较大小．
跟踪训练1　(1)已知0<a<，且M＝＋，N＝＋，则M，N的大小关系是(　　)
A．M>N B．M<N
C．M＝N D．不能确定
答案　A
解析　∵0<a<，
∴1＋a>0,1＋b>0,1－ab>0.
∴M－N＝＋＝>0，
∴M>N.
(2)eπ·πe与ee·ππ的大小关系为________．
答案　eπ·πe<