人教版高中数学第5讲 素养提升之函数与导数新情境、新考法专项冲刺 (解析版）.docx

第5讲　素养提升之函数与导数新情境、新考法专项冲刺
目录
一、新情境
角度1：紧跟社会热点
角度2：关注经济发展
角度3：聚焦科技前沿
角度4：结合生产实践
角度5：渗透数学文化
角度6：强调五育并举
二、新考法
角度1：以高观点为背景
角度2：以给定定义、热点信息为背景
角度3：考查开放、探究精神
角度4：考查数学运算、数据分析得核心素养
角度5：相近学科融合
一、新情境
角度1：紧跟社会热点
1．（2022·江西·萍乡市第二中学高三阶段练****理））某容量为万立方米的小型湖，由于周边商业过度开发，长期大量排放污染物，水质变差，今年政府准备治理，用没有污染的水进行冲洗，假设每天流进和流出的水均为
万立方米，下雨和蒸发正好平衡.用函数表示经过天后的湖水污染质量分数，已知，其中表示初始湖水污染质量分数.如果，要使湖水的污染水平下降到开始时污染水平的以下，至少需要经过（    ）天（参考数据：）
A．113 B．116 C．119 D．120
【答案】B
【详解】设至少需要经过天，因为要使湖水的污染水平下降到开始时污染水平的10%以下，
所以，
又因为，所以，
由题意知，，，
所以，整理得，解得，
所以至少需要经过116天.
故选：B
2．（2022·河南省淮阳中学模拟预测（理））年月日，河南平顶山抽干湖水成功抓捕了两只鳄雀鳝，这一话题迅速冲上热搜榜．与此同时，关于外来物种泛滥的有害性受到了热议．为了研究某池塘里某种植物生长面积（单位：）与时间（单位：月）之间的关系，通过观察建立了函数模型（，，且）．已知第一个月该植物的生长面积为，第个月该植物的生长而积为，给出下列结论：
①第个月该植物的生长面积超过；
②若该植物的生长面积达到，则至少要经过个月；
③若，则成等差数列；
④若成等差数列，，，则．
其中正确结论的个数为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题意得：，解得：，；
对于①，，①正确；
对于②，令，又，，即至少需要经过个月，②错误；
对于③，由得：，
，则成等差数列，③正确；
对于④，由得：，，
成等差数列，，④错误.
故选：B.
3．（2022·四川绵阳·高二期末（文））酒驾是严重危害交通安全的违法行为．根据国家有关规定：100mL血液中酒精含量在20～80mg之间为酒后驾车，80mg及以上为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了2.4mg/mL，且在停止喝酒以后，他血液中的酒精含量会以每小时20%的速度减少，若他想要在不违法的情况下驾驶汽车，则至少需经过的小时数约为（    ）
（参考数据：，）
A．12 B．11 C．10 D．9
【答案】B
【详解】由题设，想要在不违法的情况下驾驶汽车，则酒精含量小于，
令小时后，，则小时，
所以想要在不违法的情况下驾驶汽车，则至少需经过的小时数约为11小时.
故选：B
4．（2022·湖南·长沙一中高三开学考试）2022年北京冬奥会成功举办，更加激发全国人民对冰雪运动的爱好，某地为响应全民冰雪运动的号召，建立了一个滑雪场.该滑雪场中某滑道的示意图如图所示，点A，B分别为滑道的起点和终点，它们在竖直方向的高度差为20.两点之间为滑雪弯道，相应的曲线可近似看作某三次函数图象的一部分.综合滑行的安全性与趣味性，在滑道的最陡处，滑雪者的身体与地面所成的夹角约为44°.若还要兼顾滑道的美观性与滑雪者的滑雪体验，则A，B两点在水平方向的距离约为（    ）
A．23 B．25 C．27 D．29
【答案】D
【详解】以滑道的最陡处为原点建立平面直角坐标系，由题意可知，为的中点，
设三次函数的解析式为，其中，
设点，则，，
在滑道最陡处，，则的对称轴为直线，则，可得0，
则，
在滑道最陡处，设滑雪者的身体与地面所成角为，则
，
所以，
由图可知可得，
因为，则.
故选：D.
5．（2022·湖北·恩施土家族苗族高中高三阶段练****基本再生数与世代间隔是新冠肺炎的流行病学基本参数，基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间，在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数随时间t（单位：天）的变化规律，指数增长率r与，T近似满足．有学者基于已有数据估计出．据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加3倍需要的时间约为（    ）
A．3.6天 B．3.0天 C．2.4天 D．1.8天
【答案】A
【详解】因为，，且，则，于是得
设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加3倍需要的时间为